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Un generico sistema lineare di \\(m\\) equazioni in \\(n\\) incognite viene rappresentato come segue:\n\\begin{equation*}\n \\begin{cases}\n a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\dots + a_{1n}x_n = b_1 \\\\\n a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\dots + a_{2n}x_n = b_2 \\\\ \\vdots \\\\\n a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \\dots + a_{mn}x_n = b_m \\\\\n \\end{cases}\n\\end{equation*}\nDove \\(a_{11}, a_{12}, \\dots, a_{mn}\\) rappresentano i \\textbf{coefficienti} delle incognite, \\(b_1, b_2, \\dots, b_m\\) rappresenta la \\textbf{colonna dei termini noti} e \\(x_1, x_2, \\dots, x_n\\) rappresenta la \\(n\\)-upla delle incognite di cui vogliamo ricavare le soluzioni.\n\nIn base alla possibilit\u00e0 che un sistema ammetta o meno soluzioni, distinguiamo i sistemi:\n\\begin{itemize}\n \\item \\textbf{Compatibili}: Ammettono almeno una soluzione\n \\begin{itemize}\n \\item \\textbf{Determinati}: Ammettono una sola soluzione\n \\item \\textbf{Indeterminati}: Ammettono infinite soluzioni\n \\end{itemize}\n \\item \\textbf{Incompatibili}: Non ammettono alcuna soluzione\n\\end{itemize}\n\n\\section{Studio della compatibilit\u00e0 di un sistema lineare}\nPer studiare la compatibilit\u00e0 di un sistema lineare facciamo riferimento a due matrici tratte dal sistema lineare stesso:\n\\begin{itemize}\n \\item Matrice dei coefficienti\n \\item Matrice completa\n\\end{itemize}\n\n\\subsection{Matrice dei coefficienti}\nLa matrice dei coefficienti \u00e8 una matrice composta dai soli coefficienti \\(a_{11}, a_{12}, \\dots, a_{mn}\\) delle incognite del sistema lineare.\n\\begin{equation*}\n A=\\begin{bmatrix}\n a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\\n a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\n \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\n a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn} \\\\\n \\end{bmatrix}\n\\end{equation*}\n\n\\subsection{Matrice Completa}\nLa matrice completa \u00e8 una matrice composta dalla matrice dei coefficienti e dalla colonna dei termini noti \\(b_1, b_2, \\dots, b_m\\).\n\\begin{equation*}\n (A|b)= \\begin{bmatrix}\n a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} & | & b_1 \\\\\n a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} & | & b_2 \\\\\n \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & | & \\vdots \\\\\n a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn} & | & b_m \\\\\n \\end{bmatrix} \n\\end{equation*}\n\n\\subsection{Teorema di Rouch\u00e9-Capelli}\n\n\\begin{theorem}[Teorema di Rouch\u00e9-Capelli]\nIl \\textbf{Teorema di Rouch\u00e9-Capelli} \u00e8 fondamentale nello studio della compatibilit\u00e0 di un sistema lineare. 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Tuttavia, affinch\u00e9 la regola di Cramer sia applicabile, sono necessarie alcune condizioni.\n\n\\subsection*{Condizioni di applicabilit\u00e0}\nAffinch\u00e9 la regola di Cramer possa essere utilizzata, \u00e8 fondamentale che la matrice dei coefficienti del sistema sia quadrata e invertibile. In altre parole, il determinante della matrice dei coefficienti deve essere diverso da zero (\\(\\det(A) \\neq 0\\)).\n\n\\subsection*{Enunciato della regola di Cramer}\nLa regola di Cramer afferma che se la matrice dei coefficienti \\(A\\) \u00e8 invertibile, allora il sistema lineare ammette un'unica soluzione. Questa soluzione \u00e8 data da:\n\\begin{equation*}\n x_i = \\frac{\\det(A_i)}{\\det(A)}\n\\end{equation*}\ndove \\(x_i\\) \u00e8 l'\\(i\\)-esima incognita, \\(\\det(A)\\) \u00e8 il determinante della matrice dei coefficienti e \\(\\det(A_i)\\) \u00e8 il determinante della matrice ottenuta sostituendo la \\(i\\)-esima colonna dei coefficienti con la colonna dei termini noti del sistema.\n\n\\paragraph*{Esempio di calcolo delle soluzioni con la Regola di Cramer}\nConsideriamo il seguente sistema di equazioni:\n\\begin{align*}\n 2x + 3y &= 7 \\\\\n 4x + y &= 3\n\\end{align*}\n\nPer prima cosa, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:\n\\[\n \\det(A) = \\begin{vmatrix} 2 & 3 \\\\ 4 & 1 \\end{vmatrix} = 2 \\cdot 1 - 3 \\cdot 4 = -10\n\\]\n\nPoi, calcoliamo i determinanti ottenuti sostituendo le colonne della matrice dei coefficienti con i termini noti:\n\\[\n \\det(A)_x = \\begin{vmatrix} 7 & 3 \\\\ 3 & 1 \\end{vmatrix} = 7 \\cdot 1 - 3 \\cdot 3 = -2\n\\]\n\\[\n \\det(A)_y = \\begin{vmatrix} 2 & 7 \\\\ 4 & 3 \\end{vmatrix} = 2 \\cdot 3 - 7 \\cdot 4 = -22\n\\]\n\nInfine, calcoliamo le soluzioni del sistema dividendo i determinanti ottenuti per il determinante della matrice dei coefficienti:\n\\[\n x = \\frac{\\det(A)_x}{\\det(A)} = \\frac{-2}{-10} = 0.2 \n\\]\n\\[\n y = \\frac{\\det(A)_y}{\\det(A)} = \\frac{-22}{-10} = 2.2\n\\]\n\\end{regola}\n\n\\subsection{Metodo di eliminazione di Gauss}\nIl metodo di eliminazione di Gauss consiste nel trasformare la matrice del sistema lineare in una matrice triangolare superiore, facilitando cos\u00ec la risoluzione del sistema.\n\n\\paragraph*{Esempio di calcolo delle soluzioni con il metodo di eliminazione di Gauss}\nConsideriamo il seguente sistema lineare:\n\\[\n\\begin{cases}\n2x + 3y - z = 1 \\\\\n4x + 4y - 3z = 3 \\\\\n2x + 3y - 3z = -1\n\\end{cases}\n\\]\n\n\\paragraph*{Passo 1: Rappresentare il sistema nella forma di matrice aumentata}\n\\[\n\\left[\\begin{array}{ccc|c}\n2 & 3 & -1 & 1 \\\\\n4 & 4 & -3 & 3 \\\\\n2 & 3 & -3 & -1\n\\end{array}\\right]\n\\]\n\n\\paragraph*{Passo 2: Usare la prima riga per eliminare le \\(x\\) nelle righe successive}\n\\begin{itemize}\n \\item Moltiplichiamo la prima riga per 2 e sottraiamo dalla seconda riga:\n \\[\n \\left[\\begin{array}{ccc|c}\n 2 & 3 & -1 & 1 \\\\\n 0 & -2 & -1 & 1 \\\\\n 2 & 3 & -3 & -1\n \\end{array}\\right]\n \\]\n \\item Sottraiamo la prima riga dalla terza riga:\n \\[\n \\left[\\begin{array}{ccc|c}\n 2 & 3 & -1 & 1 \\\\\n 0 & -2 & -1 & 1 \\\\\n 0 & 0 & -2 & -2\n \\end{array}\\right]\n \\]\n\\end{itemize}\n\n\\paragraph*{Passo 3: Ridurre ulteriormente la matrice}\n\\begin{itemize}\n \\item Dividiamo la terza riga per \\(-2\\):\n \\[\n \\left[\\begin{array}{ccc|c}\n 2 & 3 & -1 & 1 \\\\\n 0 & -2 & -1 & 1 \\\\\n 0 & 0 & 1 & 1\n \\end{array}\\right]\n \\]\n \\item Usiamo la terza riga per eliminare il termine in \\(z\\) dalla seconda riga:\n \\[\n \\left[\\begin{array}{ccc|c}\n 2 & 3 & -1 & 1 \\\\\n 0 & -2 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1 & 1\n \\end{array}\\right]\n \\]\n \\item Dividiamo la seconda riga per \\(-2\\):\n \\[\n \\left[\\begin{array}{ccc|c}\n 2 & 3 & -1 & 1 \\\\\n 0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n 0 & 0 & 1 & 1\n \\end{array}\\right]\n \\]\n\\end{itemize}\n\n\\paragraph*{Passo 4: Sostituzione all'indietro per risolvere le incognite}\n\\begin{itemize}\n \\item Dalla terza riga, abbiamo \\(z = 1\\).\n \\item Sostituendo \\(z = 1\\) nella seconda riga, otteniamo \\(y = 0\\).\n \\item Sostituendo \\(z = 1\\) e \\(y = 0\\) nella prima riga, otteniamo:\n \\[\n 2x + 3(0) - 1(1) = 1 \\implies 2x - 1 = 1 \\implies 2x = 2 \\implies x = 1\n \\]\n\\end{itemize}\n\n\\paragraph*{Soluzione del sistema}\n\\[\n\\begin{cases}\nx = 1 \\\\\ny = 0 \\\\\nz = 1\n\\end{cases}\n\\]\n\n\\section{Sistemi Lineari Omogenei}\nUn sistema lineare \u00e8 \\textbf{omogeneo} se la colonna dei termini noti \u00e8 il vettore nullo. Un sistema lineare omogeneo si presenta cos\u00ec:\n\\begin{equation*}\n\\begin{cases}\na_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\dots + a_{1n}x_n = 0 \\\\\na_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\dots + a_{2n}x_n = 0 \\\\\n\\vdots \\\\\na_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \\dots + a_{mn}x_n = 0 \\\\\n\\end{cases}\n\\end{equation*}\nUn sistema lineare omogeneo \u00e8 sempre compatibile e ammette sempre la \\textbf{soluzione banale}, quella in cui tutte le incognite sono pari a 0. Inoltre, per un sistema lineare omogeneo:\n\\begin{itemize}\n\\item Se \\(\\operatorname{rk}(A) < n\\), ammette infinite soluzioni, in particolare \\(\\infty^{n-\\operatorname{rk}(A)}\\) soluzioni.\n\\item Se \\(\\operatorname{rk}(A) = n\\), ammette un'unica soluzione.\n\\end{itemize}\n\n\\end{document}\n```\n\nSpero che questi appunti soddisfino le tue esigenze! Se ci fossero ulteriori correzioni o aggiunte che desideri, non esitare a farmelo sapere.","behavior":"degenerate_repetition","conversation_hash":"1950aa8357f6e1ab2eee0a4eebc6c55a","conversation_redacted":false,"conversation_toxic":false,"country":"","empty_output":false,"evidence_codes":[],"label":"absent","label_present":false,"label_qualified":false,"label_source":"Final dense release","language":"Italian","model":"gpt-4o-2024-05-13","n_chars":22634,"n_turns_in_conversation":2,"n_words":3370,"source_row_offset":12754,"source_shard":"turns-00023.parquet","timestamp":"Wed, 05 Jun 2024 19:39:34 GMT","turn_id":"5c018f747fc8d21463c6ccc7","turn_index":1,"user_text":"Effettua una revisione dei miei appunti di algebra lineare sui sistemi lineari scritti in latex.Devi correggere gli errori teorici e concettuali presenti all'interno degli appunti,inoltre devi anche riscriverli in modo strutturato, ordinato e con una formattazione scientifica attinente alla disciplina algebra lineare. Questi sono gli appunti: \\documentclass[12pt, a4paper]{article}\n\n% Pacchetti essenziali\n\\usepackage[italian]{babel}\n\\usepackage[utf8]{inputenc}\n\\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}\n\\usepackage{graphicx,tikz}\n\\usepackage{hyperref}\n\\usepackage{geometry}\n\\geometry{margin=2.5cm}\n\n\n\\newtheorem*{theorem}{Teorema di Rouch\u00e9-Capelli}\n\\newtheorem*{regola}{Regola di Cramer}\n\n\\title{Sistemi Lineari\\\\Appunti di Algebra Lineare}\n\n\n\n\n\n\\begin{document}\n\\maketitle\n\n\\tableofcontents\n\n\n\n\\section{Introduzione ai sistemi lineari}\nUn sistema lineare \u00e8 un insieme di equazioni lineari, cio\u00e8 equazioni in cui le incognite compaiono solo al primo grado e non vi sono prodotti tra esse,che devono essere tutte risolte contemporaneamente.\nUn generico sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite viene rappresentato come segue:\n\\begin{equation*}\n \\begin{cases}\n a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\dots + a_{1n}x_n = b_1 \\\\\n a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\dots + a_{2n}x_n = b_2 \\\\\n \\vdots \\\\\n a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \\dots + a_{mn}x_n = b_m \\\\\n \\end{cases}\n\\end{equation*}\nDove $a_{11}, a_{12}, \\dots, a_{mn}$ rappresentano i \\textbf{coefficienti} delle incognite, $(b_1, b_2, \\dots, b_m)$ rappresenta la \\textbf{colonna dei termini noti} e $(x_1, x_2, \\dots, x_n)$ rappresenta la $n$-upla delle incognite di cui vogliamo ricavare le soluzioni.\\\\\nIn base alla possibilit\u00e0 che un sistema ammetta o meno soluzione, distinguiamo i sistemi:\n\\begin{itemize}\n \\item \\textbf{Compatibili}: Ammettono almeno una soluzione\n \\begin{itemize}\n \\item \\textbf{Determinati}: Ammettono una sola soluzione\n \\item \\textbf{Indeterminati}: Ammettono infinite soluzioni\n \\end{itemize}\n \\item \\textbf{Incompatibili}: Non ammettono alcuna soluzione\n\\end{itemize}\n\n\\section{Studio della compatibilit\u00e0 di un sistema lineare}\nPer studiare la compatibilit\u00e0 di un sistema lineare facciamo riferimento a due matrici tratte dal sistema lineare stesso.\n\\begin{itemize}\n \\item Matrice dei coefficienti\n \\item Matrice Completa\n\\end{itemize}\n\n\\subsection{Matrice dei coefficienti}\nLa matrice dei coefficienti \u00e8 una matrice composta dai soli coefficienti $a_{11},a_{12}\\dots$ delle incognite del sistema lineare.\n\\begin{equation*}\n A=\\begin{bmatrix}\n a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1j} \\\\\n a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2j} \\\\\n \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\n a_{i1} & a_{i2} & \\cdots & a_{ij} \\\\\n \\end{bmatrix}\n\\end{equation*}\n\n\\subsection{Matrice Completa}\nLa matrice completa \u00e8 una matrice composta dalla matrice dei coefficienti e dalla colonna dei termini noti $b_1,b_2\\dots b_m$\n\\begin{equation*}\n (A|b)= \\begin{bmatrix}\n a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1j} & | & b_1 \\\\\n a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2j} & | & b_2 \\\\\n \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & | & \\vdots \\\\\n a_{i1} & a_{i2} & \\cdots & a_{ij} & | & b_i \\\\\n \\end{bmatrix} \n\\end{equation*}\n\n\n\n\n\\subsection{Teorema di rouch\u00e8 capelli}\n\\begin{theorem}\n Il \\textbf{Teorema di Rouch\u00e9-Capelli} \u00e8 fondamentale nello studio della compatibilit\u00e0 di un sistema lineare. Esso stabilisce che:\n \n Un sistema lineare \\( Ax = b \\) \u00e8 compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti \\( A \\) \u00e8 uguale al rango della matrice completa \\( (A|b) \\), cio\u00e8:\n \\[\n \\operatorname{rk}(A|b) = \\operatorname{rk}(A)\n \\]\n \n In base a questo, possiamo dedurre che:\n \n \\begin{itemize}\n \\item Se \\( \\operatorname{rk}(A|b) = \\operatorname{rk}(A) = n \\), allora il sistema ammette un'unica soluzione.\n \\item Se \\( \\operatorname{rk}(A|b) = \\operatorname{rk}(A) < n \\), allora il sistema ammette un numero infinito di soluzioni, in particolare con \\( n - \\operatorname{rk}(A) \\) variabili libere.\n \\item Se \\( \\operatorname{rk}(A|b) \\neq \\operatorname{rk}(A) \\), allora il sistema non ammette soluzioni.\n \\end{itemize}\n\\end{theorem}\n\n\n\n\\subsection{Regola di Cramer per i sistemi lineari}\n\\begin{regola}\nLa regola di Cramer \u00e8 un metodo utilizzato per trovare le soluzioni di un sistema lineare quadrato, cio\u00e8 un sistema lineare che ha lo stesso numero di equazioni e di incognite. Tuttavia, affinch\u00e9 la regola di Cramer sia applicabile, sono necessarie alcune condizioni.\n\n\\subsection*{Condizioni di applicabilit\u00e0}\nAffinch\u00e9 la regola di Cramer possa essere utilizzata, \u00e8 fondamentale che la matrice dei coefficienti del sistema sia quadrata e invertibile. In altre parole, il determinante della matrice dei coefficienti deve essere diverso da zero ($\\det(A) \\neq 0$).\n\n\\subsection*{Enunciato della regola di Cramer}\nLa regola di Cramer afferma che se la matrice dei coefficienti $A$ \u00e8 invertibile, allora il sistema lineare ammette un'unica soluzione. Questa soluzione \u00e8 data da:\n\\begin{equation*}\n x_i = \\frac{\\det(A_i)}{\\det(A)}\n\\end{equation*}\ndove $x_i$ \u00e8 l'$i$-esima incognita, $\\det(A)$ \u00e8 il determinante della matrice dei coefficienti e $\\det(A_i)$ \u00e8 il determinante della matrice ottenuta sostituendo la $i$-esima colonna dei coefficienti con la colonna dei\ntermini noti del sistema.\n\n\n\\paragraph*{Dimostrazione\\\\}\nLa dimostrazione della regola di Cramer si basa su due propriet\u00e0 dei determinanti:\n\\begin{enumerate}\n \\item Moltiplicando una riga (o colonna) per un fattore $k \\neq 0$, il determinante della matrice viene moltiplicato per lo stesso fattore.\n \\item Sommando ad una riga (o colonna) un multiplo di un'altra riga (o colonna), il determinante della matrice non cambia.\n\\end{enumerate}\nConsideriamo un sistema lineare quadrato:\n\\begin{equation*}\n \\begin{cases}\n a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\dots + a_{1n}x_n = b_1 \\\\\n a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\dots + a_{2n}x_n = b_2 \\\\\n \\vdots \\\\\n a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \\dots + a_{nn}x_n = b_n \\\\\n \\end{cases}\n\\end{equation*}\nApplichiamo la regola di Cramer alla prima incognita $x_1$. La matrice $A_1$ \u00e8 ottenuta sostituendo la prima colonna di $A$ con il vettore dei termini noti $\\mathbf{b}$:\n\\[\nA_1 = \\begin{pmatrix}\nb_1 & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\\nb_2 & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\n\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\nb_n & a_{n2} & \\cdots & a_{nn}\n\\end{pmatrix}\n\\]\nLa soluzione $x_1$ \u00e8 data da:\n\\[\nx_1 = \\frac{\\det(A_1)}{\\det(A)}\n\\]\nConsideriamo ora il calcolo del determinante $\\det(A_1)$:\n\\[\n\\det(A_1) = \\begin{vmatrix}\nb_1 & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\\nb_2 & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\n\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\nb_n & a_{n2} & \\cdots & a_{nn}\n\\end{vmatrix}\n\\]\nPoich\u00e9 $b_i = a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \\cdots + a_{in}x_n$ per ogni $i$, possiamo sostituire $b_i$ nelle espressioni dei determinanti:\n\\[\n\\det(A_1) = \\begin{vmatrix}\na_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\cdots + a_{1n}x_n & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\\na_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\cdots + a_{2n}x_n & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\n\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\na_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \\cdots & a_{n2} & \\cdots & a_{nn}\n\\end{vmatrix}\n\\]\nMoltiplichiamo ciascuna colonna per la rispettiva incognita, ad esempio la seconda colonna per $x_2$,la terza colonna per $x_3$ e poi sottraiamo ogni colonna alla prima ottenendo:\n\\[\n\\det(A_1) =\\begin{vmatrix}\na_{11}x_1 & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\\na_{21}x_1 & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\n\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\na_{n1}x_1 & a_{n2} & \\cdots & a_{nn}\n\\end{vmatrix} = x_1 \\det(A)\n\\]\nla prima colonna \u00e8 moltiplicata per un fattore $x_1$ che quindi possiamo portare fuori ottenendo\n\\[\n\\det(A_1) = x_1 \\begin{vmatrix}\na_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\\na_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\n\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\na_{n1} & a_{n2} & \\cdots & a_{nn}\n\\end{vmatrix} = x_1 \\det(A)\n\\]\nQuindi:\n\\[\nx_1 = \\frac{\\det(A_1)}{\\det(A)} = \\frac{x_1 \\det(A)}{\\det(A)} = x_1\n\\]\nLo stesso procedimento pu\u00f2 essere applicato per tutte le altre incognite $x_i$, confermando la validit\u00e0 della regola di Cramer.\n\\end{regola}\n\n\n\\section{Sistema Omogeneo}\nUn sistema lineare \\textbf{omogeneo} \u00e8 un sistema in cui la colonna dei termini noti \u00e8 il vettore nullo. Un sistema lineare omogeno si presenta cio\u00e8 cos\u00ec:\n\\begin{equation*}\n\\begin{cases}\na_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\dots + a_{1n}x_n =0\\\\\na_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\dots + a_{2n}x_n =0 \\\\\n\\cdots \\\\\na_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \\dots + a_{mn}x_n =0 \\\\\n\\end{cases}\n\\end{equation*}\nUn sistema lineare omogeno \u00e8 sempre compatibile e ammette sempre la \\textbf{soluzione banale}, quella cio\u00e8 in cui tutte le incognite sono pari a 0 in quanto si ottiene un'identit\u00e0 0=0. Inoltre, un sistema lineare omogeneo:\n\\begin{itemize}\n\\item Se ha rango rk(A)