USER
переведи текст на русский MATHEMATICS DEVELOPMENT
17th Century Mathematic
The scientific revolution of the 17th century spurred advances in mathematics
as well. The founders of modern science – Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler,
Galileo, and Isaac Newton – studied the natural world as mathematicians, and they
looked for its mathematical laws. Over time, mathematics grew more and more
abstract as mathematicians sought to establish the foundations of their fields in logic.
The 17th century opened with the discovery of logarithms by the Scottish
mathematician John Napier and the Swiss mathematician Justus Byrgius.
Logarithms enabled mathematicians to extract the roots of numbers and simplified
27
many calculations by basing them on addition and subtraction rather than on
multiplication and division.
Napier, who was interested in simplification, studied the systems of the Indian
and Islamic worlds and spent years producing the tables of logarithms that he
published in 1614. Kepler’s enthusiasm for the tables ensured their rapid spread.
The 17th century saw the greatest advances in mathematics since the time of
ancient Greece. The major invention of the century was calculus. Although two great
thinkers – Sir Isaac Newton of England and Gottfried Wilhelm Leibniz of Germany – have received credit for the invention, they built on the work of others. As Newton
noted, “If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants.” Major
advances were also made in numerical calculation and geometry.
Gottfried Leibniz was born (1st July, 1646) and lived most of his life in
Germany. His greatest achievement was the invention of integral and differential
calculus, the system of notation which is still in use today. In England, Isaac Newton
claimed the distinction and accused Leibniz of plagiarism, that is stealing somebody
else’s ideas but stating that they are original. Modern-day historians, however, regard
Leibniz as having arrived at his conclusions independently of Newton. They point out
that there are important differences in the writings of both men.
Differential calculus came out of problems of finding tangents to curves, and
an account of the method is published in Isaac Barrow’s “Lectiones geometricae”
(1670). Newton had discovered the method (1665-66) and suggested that Barrow
include it in his book.
Leibniz had also discovered the method by 1676, publishing it in 1684. Newton
did not publish his results until 1687. A bitter dispute arose over the priority for the
discovery. In fact, it is now known that the two made their discoveries independently
and that Newton had made it ten years before Leibniz, although Leibniz published
first. The modern notation of dy/dx and the elongated s for integration are due to
Leibniz.
The most important development in geometry during the 17th century was the
discovery of analytic geometry by Rene Descartes and Pierre de Fermat, working
in dependently in France. Analytic geometry makes it possible to study geometric
figures using algebraic equations. By using algebra, Descartes managed to overcome
the limitations of Euclidean geometry. That resulted in the reversal of the historical
roles of geometry and algebra.
The French mathematician Joseph Louis Lagrange observed in the 18th
century, “As long as algebra and geometry proceeded along separate paths, their
advance was slow and their applications limited. But when these sciences joined
company, they drew from each other fresh vitality and thenceforward marched on at a
rapid pace toward perfection.”
Descartes’ publications provided the basis for Newton’s mathematical work
later in the century. Pierre de Fermat, however, regarded his own work on what
became known as analytic geometry as a reformulation of Appollonius’s treatise on
28
conic sections. That treatise had provided the basic work on the geometry of curves
from ancient times until Descartes.
18th – 19th Century Mathematics
During the 18th century, calculus became the cornerstone of mathematical
analysis on the European continent. Mathematicians applied the discovery to a
variety of problems in physics, astronomy, and engineering. In the course of doing so,
they also created new areas of mathematics.
In France, Joseph Louis Lagrange made substantial contributions in all fields of
pure mathematics, including differential equations, the calculus of variations,
probability theory, and the theory of equations. In addition, Lagrange put his
mathematical skills to work in the solution of practical problems in mechanics and
astronomy.
The greatest mathematician of the 18th century, Leonard Euler of Switzerland,
wrote works that covered the entire fields of pure and applied mathematics. He wrote
major works on mechanics that preceded Lagrange’s work. He won a number of
prizes for his work on the orbits of comets and planets, the field known as celestial
mechanics. But Euler is best known for his works in pure mathematics. In one of his
works, Introduction to the Analysis of Infinites, published in 1748, he approached
calculus in terms of functions rather than the geometry of curves. Other works by
Euler contributed to number theory and differential geometry (the application of
differential calculus to the study of the properties of curves and curved spaces).
Mathematicians succeeded in firming the foundations of analysis and
discovered the existence of additional geometries and algebras and more than one
kind of infinity.
The 19th century began with the German mathematician Carl Frederich
Gauss. He ranks as one of the greatest mathematicians of the world. His book
Inquiries into Arithmetic published in 1801 marks the beginning of modern era in
number theory.
Gauss called mathematics the queen of sciences and number theory the queen
of mathematics. Almost from the introduction of calculus, efforts had been made to
supply a rigorous foundation for it. Every mathematician made some effort to
produce a logical justification for calculus and failed. Although calculus clearly
worked in solving problems, mathematicians lacked rigorous proof that explained
why it worked. Finally, in 1821, the French mathematician Augustin Louis Cauchy
established a rigorous foundation for calculus with his theory of limits, a purely
arithmetic theory.
Later, mathematicians found Cauchy’s formulation still too vague because it
did not provide a logical definition of real number. The necessary precision for
calculus and mathematical analysis was attained in the 1850s by the German
mathematician Karl T. W. Weierstrass and his followers.
Another important advance in analysis came from the French mathematician
Jean Baptiste Fourier, who studied infinite series in which the terms are
29
trigonometric functions. Known today as Fourier series, they are still powerful tools
in pure and applied mathematics.
The investigation of Fourier series led another German mathematician, Georg
Cantor, to the study of infinite sets and to the arithmetic of infinite numbers. Georg
Cantor began his mathematical investigations in number theory and went on to create
set theory. In the course of his early studies of Fourier series, he developed a theory
of irrational numbers. Cantor and another German mathematician, Julius W. R.
Dedekind, defined the irrational numbers and established their properties. These
explanations hastened the abandonment of many 19th century mathematical
principles. When Cantor introduced his theory of sets, it was attacked as a disease
from which mathematics would soon recover. However, it now forms part of the
foundations of mathematics. The application of set theory greatly advanced
mathematics in the 20th century.
ASSISTANT
**РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ**
**Математика XVII века**
Научная революция XVII века также способствовала развитию математики. Основатели современной науки — Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Галилео и Исаак Ньютон — изучали природный мир как математики и искали его математические законы. Со временем математика становилась все более абстрактной, так как математики стремились установить основы своих областей в логике. XVII век начался с открытия логарифмов шотландским mathematician Джоном Непером и швейцарским mathematician Юстусом Бургиусом. Логарифмы позволили математикам извлекать корни чисел и упростили множество расчетов, основываясь на сложении и вычитании вместо умножения и деления.
Непер, интересовавшийся упрощением, исследовал системы индийского и исламского мира и потратил годы на создание таблиц логарифмов, которые он опубликовал в 1614 году. Энтузиазм Кеплера к таблицам обеспечил их быстрое распространение. XVII век стал свидетелем величайших достижений в математике со времен древней Греции. Основным изобретением века былCalculus. Хотя двумя великими мыслителями — сэром Исааком Ньютоном из Англии и Готфридом Вильгельмом Лейбницем из Германии — была присуждена заслуга за изобретение, они опирались на работы других. Как заметил Ньютон: «Если я видел дальше, то это благодаря тому, что стоял на плечах гигантов». Значительные достижения были также достигнуты в числовых расчетах и геометрии.
Готфрид Лейбниц родился (1 июля 1646 года) и провел большую часть своей жизни в Германии. Его величайшим достижением стало изобретение интегрального и дифференциального исчисления, системы нотации, которая используется и сегодня. В Англии Исаак Ньютон утверждал о своем первенстве и обвинял Лейбница в плагиате, то есть в краже чужих идей с заявлением о том, что они оригинальны. Однако современные историки считают, что Лейбниц пришел к своим выводам независимо от Ньютона. Они подчеркивают, что в работах обоих мужчин есть важные различия.
Дифференциальное исчисление возникло из задач нахождения касательных к кривым, и описание метода публикуется в «Lectiones geometricae» Исаака Барроу (1670). Ньютон открыл метод (1665-66) и предложил Барроу включить его в свою книгу.
Лейбниц также обнаружил метод к 1676 году и опубликовал его в 1684 году. Ньютон не опубликовал свои результаты до 1687 года. Возникла ожесточенная спор о первенстве открытия. В действительности, теперь известно, что оба сделали свои открытия независимо и что Ньютон сделал это на десять лет раньше Лейбница, хотя Лейбниц опубликовал первый. Современная нотация dy/dx и вытянутая s для интеграции принадлежат Лейбницу.
Самым важным событием в геометрии в XVII веке стало открытие аналитической геометрии Рене Декарта и Пьера де Ферма, которые работали независимо во Франции. Аналитическая геометрия позволяет изучать геометрические фигуры с использованием алгебраических уравнений. С помощью алгебры Декарт смог преодолеть ограничения евклидовой геометрии. Это привело к изменению исторических ролей геометрии и алгебры.
Французский математик Жозеф Луи Лагранж заметил в XVIII веке: «Пока алгебра и геометрия двигались по отдельным путям, их развитие было медленным, а их применение ограниченным. Но когда эти науки объединились, они взаимно обогатили друг друга и с тех пор стремительно продвигаются к совершенству».
Публикации Декарта стали основой для математической работы Ньютона позже в веке. Пьер де Ферма, однако, считал свою работу над тем, что стало известно как аналитическая геометрия, переработкой трактата Апполония о конусных сечениях. Этот трактат предоставил основную работу по геометрии кривых с древних времен до Декарта.
**Математика XVIII – XIX веков**
В XVIII веке исчисление стало основой математического анализа на европейском континенте. Математики применили это открытие к различным задачам в физике, астрономии и инженерии. В процессе этого они также создали новые области математики.
Во Франции Жозеф Луи Лагранж сделал значительные вклады во все области чистой математики, включая дифференциальные уравнения, исчисление вариаций, теорию вероятностей и теорию уравнений. Кроме того, Лагранж применял свои математические навыки для решения практических задач в механике и астрономии.
Величайшим математиком XVIII века был Леонард Эйлер из Швейцарии, который написал труды, охватывающие все области чистой и прикладной математики. Он написал значительные работы по механике, которые предшествовали работам Лагранжа. Он получил ряд премий за работу над орбитами комет и планет, область, известную как небесная механика. Но Эйлер наиболее известен своими работами в чистой математике. В одной из своих работ «Введение в анализ бесконечностей», опубликованной в 1748 году, он подошел к исчислению с точки зрения функций, а не геометрии кривых. Другие работы Эйлера способствовали теории чисел и дифференциальной геометрии (применение дифференциального исчисления к изучению свойств кривых и изогнутых пространств).
Математики смогли укрепить основы анализа и обнаружили существование дополнительных геометрий и алгебр, а также более одного вида бесконечности.
XIX век начался с немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Он считается одним из величайших математиков мира. Его книга «Исследования по арифметике», опубликованная в 1801 году, ознаменовала начало современного этапа в теории чисел.
Гаусс назвал математику королевой наук, а теорию чисел — королевой математики. Почти с момента введения исчисления делались попытки обеспечить строгую основу для него. Каждый математик пытался создать логическое обоснование для исчисления и терпел неудачи. Хотя исчисление явно работало в решении задач, математики не имели строгого доказательства, объясняющего, почему оно работает. Наконец, в 1821 году французский математик Огюстен Луи Коши установил строгую основу для исчисления с его теорией пределов, чисто арифметической теорией.
Позже математики сочли формулировку Коши все еще слишком неопределенной, потому что она не предоставляла логического определения действительного числа. Необходимая точность для исчисления и математического анализа была достигнута в 1850-х годах немецким математиком Карлом Т. В. Вейерштрассом и его последователями.
Еще одно важное достижение в анализе пришло от французского математика Жана Батиста Фурье, который изучал бесконечные ряды, в которых термины являются тригонометрическими функциями. Сегодня известные как ряды Фурье, они по-прежнему являются мощными инструментами в чистой и прикладной математике.
Исследование рядов Фурье привело другого немецкого математика, Георга Кантора, к изучению бесконечных множеств и арифметики бесконечных чисел. Георг Кантор начал свои математические исследования в теории чисел и затем создал теорию множеств. В ходе своих ранних исследований рядов Фурье он разработал теорию иррациональных чисел. Кантор и другой немецкий математик Юлий В. Р. Дедекнд определили иррациональные числа и установили их свойства. Эти объяснения ускорили отказ от многих математических принципов XIX века. Когда Кантор представил свою теорию множеств, она была атакована как болезнь, от которой математика вскоре восстановится. Однако она теперь является частью основ математики. Применение теории множеств значительно ускорило развитие математики в XX веке.