turns-00040.parquet:32881
ccb7053f531d18ad2ee06f95degenerate_repetitionAbsentFinal dense release
USER
Travail à rendre N°1 Une résistance électrique de forme cylindrique (D = 0,4 cm, L = 1,5 cm) installée sur un circuit imprimé dissipe une puissance de 0,6 W. En supposant que la chaleur est transférée de manière uniforme à travers toutes les surfaces, déterminer : 1°/ La quantité de chaleur dissipée par cette résistance au cours d'une période d'une heure. 2°/ Le flux thermique ϕ(W) et la densité de flux thermique (W/m²). 3°/ Le flux de chaleur dissipée par les surfaces supérieure et inférieure. 4°/ La fraction de chaleur dissipée par les surfaces supérieure et inférieure. Conclure.
ASSISTANT
Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser les concepts de transfert thermique et quelques formules géométriques basiques. Voici une approche détaillée :
### 1°/ Quantité de chaleur dissipée au cours d'une heure
La puissance dissipée par la résistance est donnée comme 0,6 W. La quantité de chaleur \( Q \) dissipée sur une période de temps \( t \) est donnée par la formule :
\[ Q = P \times t \]
où \( P \) est la puissance en watts et \( t \) est le temps en secondes. Ainsi, pour une période d'une heure (qui équivaut à 3600 secondes), la quantité de chaleur dissipée est :
\[ Q = 0,6 \, \text{W} \times 3600 \, \text{s} = 2160 \, \text{J} \]
### 2°/ Flux thermique \( \varphi \) et densité de flux thermique
#### Flux thermique \( \varphi \)
Le flux thermique est simplement la puissance transférée, donc :
\[ \varphi = 0,6 \, \text{W} \]
#### Densité de flux thermique
Pour trouver la densité de flux thermique (en W/m²), nous devons d'abord calculer la surface à travers laquelle la chaleur est dissipée.
La résistance étant cylindrique, elle a une surface latérale ainsi que des surfaces supérieure et inférieure.
- **Surface latérale :** La surface latérale d'un cylindre est donnée par la formule :
\[ A_{\text{lat}} = \pi D L \]
où \( D = 0,004 \, \text{m} \) (conversion de 0,4 cm) et \( L = 0,015 \, \text{m} \) (conversion de 1,5 cm).
\[ A_{\text{lat}} = \pi \times 0,004 \, \text{m} \times 0,015 \, \text{m} = 1,884 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \]
- **Surfaces supérieure et inférieure :** La surface d'un disque est :
\[ A_{\text{sup/inf}} = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0,004}{2}\right)^2 = 1,256 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \]
Parce qu'il y a deux de ces surfaces (supérieure et inférieure), on a :
\[ A_{\text{sup\_inf\_total}} = 2 \times 1,256 \times 10^{-5} = 2,512 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \]
- **Surface totale :**
\[ A_{\text{total}} = A_{\text{lat}} + A_{\text{sup\_inf\_total}} = 1,884 \times 10^{-4} + 2,512 \times 10^{-5} = 2,1352 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \]
Avec cette surface totale, la densité de flux thermique est :
\[ j = \frac{\varphi}{A_{\text{total}}} = \frac{0,6 \, \text{W}}{2,1352 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} \approx 2809 \, \text{W/m}^2 \]
### 3°/ Flux de chaleur dissipée par les surfaces supérieure et inférieure
Le flux thermique par les surfaces supérieure et inférieure se base sur la proportion de la surface totale qu'elles occupent :
\[ \varphi_{\text{sup\_inf}} = \frac{A_{\text{sup\_inf\_total}}}{A_{\text{total}}} \times \varphi = \frac{2,512 \times 10^{-5}}{2,1352 \times 10^{-4}} \times 0,6 \]
\[ \varphi_{\text{sup\_inf}} \approx 0,0705 \, \text{W} \]
### 4°/ Fraction de chaleur dissipée par les surfaces supérieure et inférieure
La fraction de chaleur dissipée par les surfaces supérieure et inférieure est :
\[ \text{Fraction} = \frac{\varphi_{\text{sup\_inf}}}{\varphi} = \frac{0,0705}{0,6} \approx 0,1175 \]
### Conclusion
Environ 11,75% de la chaleur totale est dissipée par les surfaces supérieure et inférieure, tandis que le reste (environ 88,25%) est dissipé par la surface latérale du cylindre. Ceci montre que la majorité de la dissipation thermique se produit à travers la surface latérale dans ce problème de transfert thermique via un cylindre.