Respan Dataset Explorer

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 12. На плоскость наудачу брошена монета радиуса 2. Вероятность того, что монета не пересечет ни одной из одной прямых, равна
Выберите один ответ:

a.
16

b.
34

c.
23

d.
13

Для решения этой задачи о вероятности, нам нужно найти площадь безопасной зоны, где монета может приземлиться не пересекая прямые, и поделить её на общую площадь, доступную для приземления.

Представим, что монета центром касается одной из прямых. Тогда для того чтобы она не пересекла прямую, центр монеты должен быть на расстоянии, большем или равном радиусу монеты от этой прямой. Рассмотрев обе ближайшие прямые, получим, что безопасная зона для центра монеты будет шириной \( (12 - 2 \times 2) \) метров (т.е. мы вычитаем два радиуса монеты, чтобы определить безопасное расстояние с обеих сторон от прямой).

Таким образом, ширина безопасной зоны равна \( 12 - 4 = 8 \) метров.

Общая зона, в которой может оказаться центр монеты, соответствует ширине между параллельными прямыми и равна 12 метров (расстояние между параллельными прямыми).

Вероятность того, что монета не пересечет ни одной прямой, равна отношению ширины безопасной зоны к общей ширине:

\( P = \frac{ширина \ безопасной \ зоны}{ширина \ всей \ зоны} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).

Ответов с числом 2/3 среди предложенных вариантов нет. Вероятно, варианты ответов даны в процентах. Переведем нашу дробь в проценты:

\( P = \frac{2}{3} \times 100\% ≈ 66.67\% \).

Ни один из предложенных вариантов не соответствует этому ответу, поэтому вероятно в вопросе допущена ошибка и ни один из предложенных вариантов (a, b, c, d) не является верным ответом. Если бы варианты ответов выражались не в процентах, а в действительных числах, необходимо было бы представить каждый из них в виде дроби от 1 (например, ответ a. 16 как 16/100), чтобы увидеть, соответствует ли он рассчитанной нами вероятности 2/3.

Проводят серию из четырех независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может наступить с вероятностью равной 0.3. Вероятность того, что событие A появится не менее двух раз, равна
Выберите один ответ:

a.
0.510

b.
0.123

c.
0.348

d.
0.215

Чтобы найти вероятность того, что событие \( A \) наступит не менее двух раз в серии из четырех независимых испытаний, нам нужно рассчитать сумму вероятностей для случаев, когда событие \( A \) наступает ровно 2 раза, ровно 3 раза и ровно 4 раза.

Вероятность \( P \) того, что событие \( A \) наступит в точности \( k \) раз в серии из \( n \) независимых испытаний рассчитывается по формуле биномиального распределения:

\[ P(k \ \text{раз из} \ n) = C^k_n \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \]

где:
- \( C^k_n \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \),
- \( p \) - вероятность наступления события \( A \) в одном испытании,
- \( (1-p) \) - вероятность не наступления события \( A \).

В нашем случае \( n = 4 \), \( p = 0.3 \), и мы ищем суммарную вероятность для \( k = 2, 3, 4 \).

Рассчитаем каждый случай по отдельности:

1) Событие \( A \) наступит ровно 2 раза:
\[ P(2 \ \text{раза}) = C^2_4 \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^2 = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^2 = 6 \cdot 0.09 \cdot 0.49 = 6 \cdot 0.0441. \]

2) Событие \( A \) наступит ровно 3 раза:
\[ P(3 \ \text{раза}) = C^3_4 \cdot 0.3^3 \cdot 0.7^1 = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7 = 4 \cdot 0.027 \cdot 0.7 = 4 \cdot 0.0189. \]

3) Событие \( A \) наступит ровно 4 раза:
\[ P(4 \ \text{раза}) = C^4_4 \cdot 0.3^4 \cdot 0.7^0 = \frac{4!}{4! \cdot (4-4)!} \cdot 0.3^4 \cdot 1 = 1 \cdot 0.0081 \cdot 1 = 0.0081. \]

Теперь сложим полученные вероятности:
\[ P(2 \ \text{раза}) + P(3 \ \text{раза}) + P(4 \ \text{раза}) = 6 \cdot 0.0441 + 4 \cdot 0.0189 + 0.0081. \]

Далее проведем вычисления:
\[ 6 \cdot 0.0441 + 4 \cdot 0.0189 + 0.0081 = 0.2646 + 0.0756 + 0.0081 = 0.3483. \]

Therefore, вероятность того, что событие \( A \) наступит не менее двух раз, приблизительно равна \( 0.348 \) или \( 34.8\% \).

Следовательно, правильный ответ – это вариант c. 0.348.

роизводится 10 независимых выстрелов по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны 0.8. Дисперсия числа попаданий равна
Выберите один ответ:

a.
D=0.27

b.
D=1.8

c.
D=1.6

d.
D=3.15

Для распределения Бернулли, к которому относятся независимые выстрелы с двумя возможными исходами (попадание или промах), дисперсия числа попаданий для одного испытания (выстрела) равна \( D = p \cdot (1 - p) \), где \( p \) - вероятность попадания.

Дисперсия числа попаданий при \( n \) независимых испытаниях равна \( D_n = n \cdot D = n \cdot p \cdot (1 - p) \), так как дисперсии независимых величин складываются.

В данной задаче у нас \( p = 0.8 \), а \( n = 10 \). Подставим эти значения в формулу для дисперсии:

\[ D_{10} = 10 \cdot 0.8 \cdot (1 - 0.8) = 10 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 10 \cdot 0.16 = 1.6. \]

Таким образом, дисперсия числа попаданий при 10 выстрелах равна 1.6.

Правильный ответ – это вариант c. D=1.6.

Дискретная случайная величина задана следующим законом распределения 1 0.2 4 0.4 7 0.4. Дисперсия данной случайной величины равна
Выберите один ответ:

a.
4.6

b.
2.2

c.
5.04

d.
3.7

Для нахождения дисперсии дискретной случайной величины \( X \) используйте следующую формулу:

\[ D(X) = \sum{(x_i - \mu)^2 \cdot p(x_i)}, \]

где \( x_i \) это значения, которые принимает случайная величина, \( p(x_i) \) - соответствующие вероятности этих значений и \( \mu \) - математическое ожидание случайной величины, которое находится по формуле:

\[ \mu = \sum{x_i \cdot p(x_i)}. \]

Значения случайной величины и их вероятности:
- \( X = 1 \) с вероятностью \( p(1) = 0.2 \),
- \( X = 4 \) с вероятностью \( p(4) = 0.4 \),
- \( X = 7 \) с вероятностью \( p(7) = 0.4 \).

Сначала найдем математическое ожидание \( \mu \):

\[ \mu = (1 \cdot 0.2) + (4 \cdot 0.4) + (7 \cdot 0.4) \]
\[ \mu = 0.2 + 1.6 + 2.8 \]
\[ \mu = 4.6. \]

Теперь рассчитаем дисперсию \( D(X) \):

\[ D(X) = (1 - 4.6)^2 \cdot 0.2 + (4 - 4.6)^2 \cdot 0.4 + (7 - 4.6)^2 \cdot 0.4 \]
\[ D(X) = (-3.6)^2 \cdot 0.2 + (-0.6)^2 \cdot 0.4 + (2.4)^2 \cdot 0.4 \]
\[ D(X) = 12.96 \cdot 0.2 + 0.36 \cdot 0.4 + 5.76 \cdot 0.4 \]
\[ D(X) = 2.592 + 0.144 + 2.304 \]
\[ D(X) = 5.04. \]

Следовательно, дисперсия случайной величины равна 5.04.

Правильный ответ – это вариант c. D=5.04.

Функция распределения непрерывной случаной величины имеет вид F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,  x⩽0x/6,  0<x⩽61,  x>6. Математическое ожидание этой случайной величины равно
Выберите один ответ:

a.
3

b.
2

c.
5

d.
4

Функция распределения непрерывной случайной величины \( F(x) \) указана следующим образом:

\[
F(x)=\begin{cases}
0, & x \leq 0 \\
\frac{x}{6}, & 0 < x \leq 6 \\
1, & x > 6
\end{cases}
\]

Плотность вероятности \( f(x) \) получается как производная функции распределения \( F(x) \) в тех точках, где она дифференцируема:

\[
f(x) = \begin{cases}
0, & x \leq 0 \\
\frac{1}{6}, & 0 < x \leq 6 \\
0, & x > 6
\end{cases}
\]

Математическое ожидание непрерывной случайной величины \( X \) с плотностью распределения \( f(x) \) вычисляется по формуле:

\[
E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx
\]

В нашем случае функция определена от 0 до 6, так что нам нужно оценить интеграл на этом отрезке:

\[
E[X] = \int_{0}^{6} x \frac{1}{6} dx
\]

Вычислим данный интеграл:

\[
E[X] = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x dx = \frac{1}{6} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{6}
\]

\[
E[X] = \frac{1}{6} \left( \frac{6^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{2} = \frac{1}{6} \cdot 18 = 3
\]

Значит, математическое ожидание случайной величины \( X \) равно 3.

Правильный ответ – это вариант a. 3.

Выборка задана в виде распределения частот: xini082151 Относительная частота появления x2 равна
Выберите один ответ:

a.
0.4

b.
0.2

c.
0.1

d.
0.8

Для того чтобы найти относительную частоту появления значения \( x = 2 \), нам нужно поделить частоту появления этого значения на общее количество наблюдений.

Для начала определим общее количество наблюдений (\( n \)) как сумму всех частот (\( n_i \)):

\[ n = \sum{n_i} = 8 + 2 + 15 + 1 = 26 \]

Теперь мы видим, что значение \( x = 2 \) появляется 2 раза. Таким образом, чтобы найти относительную частоту появления \( x = 2 \), выполним следующий расчет:

\[ \text{Относительная частота} = \frac{\text{Частота появления } x = 2}{\text{Общее количество наблюдений}} \]

\[ \text{Относительная частота} = \frac{2}{26} \]

\[ \text{Относительная частота} = \frac{1}{13} \]

Это значение не совпадает с предложенными вариантами. Возможно, произошла ошибка при прочтении задачи, или ответ должен был быть представлен в десятичном виде. Если перевести \( \frac{1}{13} \) в десятичную дробь, то получится приблизительно 0.0769, что также не совпадает с представленными вариантами ответов. Проверьте, пожалуйста, корректность предоставленных данных и список вариантов ответов.

проверь решение 

Извините за недоразумение. Давайте снова рассчитаем относительную частоту появления \(x=2\) с учетом предоставленных данных:

Значения выборки (\(x_i\)) и соответствующие частоты (\(n_i\)) даны следующим образом:
- \(x_1 = 0\) с частотой \(n_1 = 8\),
- \(x_2 = 2\) с частотой \(n_2 = 2\),
- \(x_3 = 5\) с частотой \(n_3 = 15\),
- \(x_4 = 1\) с частотой \(n_4 = 1\).

Общее количество наблюдений в выборке равно сумме всех частот:
\[ n_{\text{total}} = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 8 + 2 + 15 + 1 = 26. \]

Относительная частота для \(x=2\) равна частоте данного значения делённой на общее количество наблюдений:
\[ f_{\text{relative}}(x=2) = \frac{n_2}{n_{\text{total}}} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13} \approx 0.0769, \]
что соответствует примерно 7.69%.

Однако, так как это значение не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа, возможно, в задаче предполагается, что мы округлим его до ближайшего значения из представленных вариантов ответа.

При округлении 0.0769 до одного знака после запятой, получаем 0.1.

Итак, наиболее близким вариантом, исходя из имеющихся в списке, будет:
c. 0.1

Это является вероятной причиной того, почему в оригинальной задаче был предложен ответ в форме c. 0.1. Это округление до одного десятичного знака делает предположить, что предпочтение было дано этому ответу.

Выборка задана в виде распределения частот: xini172433426391 Выборочная дисперсия равна
Выберите один ответ:

a.
1.17

b.
3.72

c.
4.85

d.
2.95

Чтобы найти выборочную дисперсию для данного распределения частот, необходимо использовать следующие шаги:

1. Найти среднее (среднее арифметическое) значение всех наблюдений.
2. Вычислить сумму квадратов разностей каждого значения и среднего, умноженных на соответствующие частоты.
3. Разделить полученный результат на общее количество наблюдений минус 1 (для получения оценки смещённой выборочной дисперсии).

Даны значения и их частоты:
- \( x = 1 \) с частотой \( n = 7 \),
- \( x = 2 \) с частотой \( n = 4 \),
- \( x = 3 \) с частотой \( n = 3 \),
- \( x = 4 \) с частотой \( n = 2 \),
- \( x = 6 \) с частотой \( n = 3 \),
- \( x = 9 \) с частотой \( n = 1 \).

1. Найдём среднее:
\[ \overline{x} = \frac{\sum{(x_i n_i)}}{\sum{n_i}} \]
\[ \overline{x} = \frac{1 \cdot 7 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 9 \cdot 1}{7 + 4 + 3 + 2 + 3 + 1} \]
\[ \overline{x} = \frac{7 + 8 + 9 + 8 + 18 + 9}{20} \]
\[ \overline{x} = \frac{59}{20} = 2.95 \]

Таким образом, среднее значение всех наблюдений равно 2.95.

2. Вычислим сумму квадратов разностей:
\[ \sum{(x_i - \overline{x})^2 n_i} \]
\[ = (1 - 2.95)^2 \cdot 7 + (2 - 2.95)^2 \cdot 4 + (3 - 2.95)^2 \cdot 3 + (4 - 2.95)^2 \cdot 2 + (6 - 2.95)^2 \cdot 3 + (9 - 2.95)^2 \cdot 1 \]
\[ = 3.8025 \cdot 7 + 0.9025 \cdot 4 + 0.0025 \cdot 3 + 1.1025 \cdot 2 + 9.3025 \cdot 3 + 36.7025 \cdot 1 \]
\[ = 26.6175 + 3.61 + 0.0075 + 2.205 + 27.9075 + 36.7025 \]
\[ = 97.050 \]

3. Теперь найдём выборочную дисперсию, разделив сумму на количество наблюдений минус 1:
\[ s^2 = \frac{\sum{(x_i - \overline{x})^2 n_i}}{n - 1} \]
\[ s^2 = \frac{97.050}{20 - 1} \]
\[ s^2 = \frac{97.050}{19} \]
\[ s^2 = 5.1079 \]

Таким образом, выборочная дисперсия равна \( s^2 = 5.1079 \), что не совсем совпадает с предложенными вариантами ответов, возможно, я допустил ошибку в вычислениях. Давайте проверим ещё раз:

\[ \sum{(x_i - \overline{x})^2 n_i} \]
\[ = (1 - 2.95)^2 \cdot 7 + (2 - 2.95)^2 \cdot 4 + (3 - 2.95)^2 \cdot 3 + (4 - 2.95)^2 \cdot 2 + (6 - 2.95)^2 \cdot 3 + (9 - 2.95)^2 \cdot 1 \]
\[ = (1.95)^2 \cdot 7 + (0.95)^2 \cdot 4 + (0.05)^2 \cdot 3 + (1.05)^2 \cdot 2 + (3.05)^2 \cdot 3 + (6.05)^2 \cdot 1 \]
\[ = 3.8025 \cdot 7 + 0.9025 \cdot 4 + 0.0025 \cdot 3 + 1.1025 \cdot 2 + 9.3025 \cdot 3 + 36.6025 \cdot 1 \]
\[ = 26.6175 + 3.61 + 0.0075 + 2.205 + 27.9075 + 36.6025 \]
\[ = 96.95 \]

\[ s^2 = \frac{96.95}{19} \]
\[ s^2 = 5.1026 \]

Опять получаем значение, которое близко к 5.11, предполагающее, что ошибки нет в методике вычисления. Проверьте, пожалуйста, условия задачи и данные в ответах, потому что, судя по выполненным вычислениям, правильный ответ не совпадает с указанными вариантами ответа.

Выборка задана в виде распределения частот: xi ni 0 8 2 1 5 1 Относительная частота появления x2 равна
Выберите один ответ:

a.
0.4

b.
0.2

c.
0.1

d.
0.8

Исходя из предоставленной информации, у нас есть выборка с определенными значениями \( x_i \) и их частотами \( n_i \):

\( x_i \) | \( n_i \)
--- | ---
0 | 8
2 | 1
5 | 1

Чтобы найти относительную частоту появления значения \( x = 2 \), нам нужно поделить частоту появления этого значения на общее количество наблюдений в выборке.

Общее количество наблюдений равно сумме всех частот:
\[ n = 8 + 1 + 1 = 10. \]

Частота появления \( x = 2 \) равна 1.

Теперь находим относительную частоту:
\[ f_{\text{relative}}(x=2) = \frac{n(x=2)}{n_{\text{total}}} = \frac{1}{10} = 0.1. \]

Таким образом, относительная частота появления \( x = 2 \) равна 0.1.

Ответ: вариант c. 0.1.

Выборка задана в виде распределения частот: xi ni 1 7 2 4 3 3 4 2 6 3 9 1 Выборочная дисперсия равна
Выберите один ответ:

a.
1.17

b.
3.72

c.
4.85

d.
2.95

Выборочная дисперсия дискретной случайной величины определяется как среднеарифметическое квадратов отклонения значений случайной величины от их среднего значения. Используя выборочную дисперсию для случайной величины \(X\) и её частоты \(n_i\), она может быть выражена как:

\[ s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \overline{x})^2, \]

где \( s^2 \) - выборочная дисперсия, \( N \) - общее количество элементов в выборке, \( k \) - количество различных значений, \( x_i \) - i-тое значение, \( n_i \) - частота i-того значения, и \( \overline{x} \) - среднеарифметическое выборки.

Сначала нам нужно найти среднее значение \( \overline{x} \):

\[ \overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i, \]

где \( N = \sum_{i=1}^{k} n_i \).

Для данных значений \( x_i \) и их частот \( n_i \):

\[ x_i = [1, 2, 3, 4, 6, 9], \]
\[ n_i = [7, 4, 3, 2, 3, 1]. \]

Общее количество элементов в выборке \( N \) равно сумме частот:

\[ N = 7 + 4 + 3 + 2 + 3 + 1 = 20. \]

Среднее значение \( \overline{x} \):

\[ \overline{x} = \frac{1}{20} (7 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 1 \cdot 9) \]
\[ \overline{x} = \frac{1}{20} (7 + 8 + 9 + 8 + 18 + 9) \]
\[ \overline{x} = \frac{1}{20} \cdot 59 \]
\[ \overline{x} = 2.95. \]

Теперь найдём выборочную дисперсию \( s^2 \):

\[ s^2 = \frac{1}{20} [(7 \cdot (1 - 2.95)^2 + 4 \cdot (2 - 2.95)^2 + 3 \cdot (3 - 2.95)^2 + 2 \cdot (4 - 2.95)^2 + 3 \cdot (6 - 2.95)^2 + 1 \cdot (9 - 2.95)^2) \]
\[ s^2 = \frac{1}{20} [(7 \cdot 3.8025 + 4 \cdot 0.9025 + 3 \cdot 0.0025 + 2 \cdot 1.1025 + 3 \cdot 9.3025 + 1 \cdot 36.6025)] \]
\[ s^2 = \frac{1}{20} [(26.6175 + 3.61 + 0.0075 + 2.205 + 27.9075 + 36.6025)] \]
\[ s^2 = \frac{1}{20} \cdot 96.95 \]
\[ s^2 = 4.8475. \]

Округляя до двух знаков после запятой, мы получаем выборочную дисперсию, равную приблизительно \( s^2 \approx 4.85 \).

Ответ: c. 4.85.