USER
1/3:
"Az Elektromágnesség_tananyag.pdf fájl tartalma:
ELEKTROMÁGNESSÉG
(segédanyag a „Fizika szoftverfejlesztőknek” c. kurzus hasonló című
résztárgya számára)
Általános tudnivalók:
A jelen dokumentum megtalálható a kurzus előadásának CooSpace színterén.
Ajánlott irodalom:
- Hevesi Imre: Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007 *
- Budó Ágoston: Kísérleti fizika II. (Elektromosságtan és mágnességtan), Tankönyvkiadó,
Budapest, 1979 (Vigyázat, nem az SI nemzetközi mértékegység-rendszert használja!)
- Erostyák János és Litz József (szerk.): A fizika alapjai, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest,
2007 (III. fejezet: Elektromágnességtan)
* a jelen előadáskivonat alapjául szolgáló könyv; az alábbiakban ennek fejezetszámozását
követjük
A vizsgára való felkészüléshez mindenekelőtt a jelen segédanyagot ajánljuk!
FIGYELEM!
Ha ebben a dokumentumban egy fizikai mennyiséget szimbolizáló betű betűtípusa kövér
(bold) vagy/és aláhúzott, az minden esetben annyit jelent, hogy az illető fizikai mennyiség
VEKTORMENNYISÉG (annak minden következményével együtt → erre az olvasónak
ajánlatos figyelnie!).
FIGYELEM!
A zöld színnel írt részek kissé elvontabbak a többinél, ezért ezek nem tartoznak a kötelező anyaghoz. E részek anyagából nem adunk feladatot. Az előadás csak e részekkel
teljes, emiatt ezek a tételekben szerepelnek (dőlt betűvel és zölddel), de hiányuk miatt
pontlevonást nem alkalmazunk, kifejtésüket viszont pluszpontokkat értékeljük! (a
fentiek a zölddel írt szövegrészen belüli egyenletekre is vonatkoznak, azokat ugyanis szövegszerkesztőnkben nem lehet zöld színnel megjeleníteni)
2
A. AZ ELEKTROSZTATIKAI TÉR VÁKUUMBAN
1. Az elektromos töltés. Coulomb törvénye
Elektromos állapot: megdörzsölt test (pl. borostyánkő) más testekre
erőt fejt ki (kísérlet!)
Elektromos töltés: az elektromos állapotot létrehozó anyag
Elektromos alapjelenségek (kísérletek!)
- Kétféle elektromos töltés van. Az egynemű töltések között taszítóerők, a különnemű töltések között vonzóerők hatnak. Az egyik fajta
töltést –a bőrrel dörzsölt üvegét- megállapodás szerint pozitívnak, a
másikat (pl. ilyen a szőrmével dörzsölt ebonité) negatívnak nevezzük.
- A töltés átmehet az egyik testről a másikra, ha azokat összeérintjük.
- Két pontszerű test töltése egyenlő, ha egy harmadik testre ugyanolyan távolságból ugyanakkora erővel hatnak.
- Ha két semleges testet összedörzsölünk, akkor azok ellentétes előjelű, de ugyanakkora abszolút értékű töltéshez jutnak (hiszen összeérintve újból semlegessé válnak) → dörzsöléskor nem keletkeztek
töltések, csak szétváltak.
- A semleges test mindkét fajta töltést egyenlő mennyiségben tartalmazza.
- Egyes anyagokban (vezetők) a töltés könnyen elmozdulhat, másokban nem (szigetelők).
3
- Elektromos megosztás: ha környezetétől elszigetelt, semleges vezetőhöz töltést közelítünk, akkor a vezetőnek e megosztó töltés felöli
oldalán a megosztó töltésével ellentétes, az ellenkező oldalán pedig
a megosztó töltésével azonos polaritású töltések jelenléte észlelhető.
Az utóbbi töltések elvezethetők; a megosztással szétválasztott
ellentétes polaritású töltések a vezető kettéosztásával elkülöníthetők
(de a vezető darabjait összeérintve az egész újra semleges lesz).
A töltéseket elektroszkóppal (a) mutathatjuk ki, elektrométerrel (b)
kvantitatív módon is jellemezhetjük:
Az elektromos töltés az anyagi részecskék alapvető tulajdonsága:
ì
ìproton (töltése : + e)
ïatommag í
atom í
îneutron
ïelektron (töltése : - e)
î
e ≈ 1,6×10-19 C
mel ≈ 9,11×10-31 kg
Az elektromos töltés kvantált (nem lehet akármekkora): a természetben
megfigyelhető minden töltés az elektron e töltésének egész számú
többszöröse.
Q=±N·e
(itt N egész szám)
4
(ennek első direkt kísérleti bizonyítéka a Millikan-kísérlet volt)
A töltés megmaradásának tétele: zárt (azaz környezetétől elszigetelt)
rendszerben az (előjeles!) elektromos töltések algebrai összege állandó.
(pozitív és negatív töltések keletkezhetnek és el is tűnhetnek, de csak
egyszerre; pl. párkeltés, annihiláció)
A töltések közti kölcsönhatási erő a gravitációs erőhöz képest rendkívül
nagy, erőtörvénye:
Coulomb törvénye:
(Coulomb mérte ki, torziós ingával)
A két, egymástól r távolságban lévő ponttöltés (Q1, Q2) között ható erő
(F12) a töltéseket összekötő egyenes irányába mutat, nagysága
Q1Q2
F12 = k 2
r
vákuumban:
Q1
Q2
A Q2 által Q1 -re ható erő vektoriálisan:
F12
r
F12 = k
A töltés egysége: 1 coulomb (C);
Q1 Q 2 r
r2 r
származtatott egység: 1 C = 1 As
- A C. -törvényben az r kitevője pontosan 2 (< 2·10-16 hibával), mivel
vezető üregében a térerősség a mérések szerint zérus!
5
- ha Q1 = Q2 = 1 C, r = 1 m, akkor F = 9×109 N;
2
1
9 Nm
k=
» 9 × 10
4pe 0
C2
ebből:
, amelyben
2
C
æ As ö
=
e 0 ≈ 8,85×10-12
÷ a vákuum dielektromos állandója
2 ç
è
Vmø
Nm
Az elektromos erők szuperpozíciójának elve:
Két töltés között fellépő erőt más töltések jelenléte nem változtatja
meg.
- ez az elv teszi lehetővé töltésrendszer hatásának megállapítását: töltésrendszer egy töltésre gyakorolt erőhatását a rendszer egyes töltései
által kifejtett erők vektori összege adja (ld. az ábrát!)
6
2. Az elektromos tér
A közelhatás elmélete (Faraday): a töltések nem közvetlenül hatnak
egymásra, hanem kölcsönhatásukat az általuk keltett elektromos tér
közvetíti.
Ez a fizikai realitás, ui. a tér véges sebességgel terjed, energiája és
lendülete (impulzusa) van! (vö.: távolhatás-elmélet!)
- az elektromos állapotban lévő test tehát maga körül elektromos teret
(erőteret) kelt, amely a benne lévő elektromosan töltött testekre erőt
gyakorol
Az elektromos tér jellemzése:
- az elektromos térbe helyezett (próba)töltésre (Qp) ható erő a kísérletek
szerint a tér bármely pontjában arányos a (próba)töltéssel (ez az állítás
a C. -törvényből és a szuperpozíció elvéből is következik!), azaz
F = Qp·E
formában adható meg
→ az ebben szereplő E vektort már csak az elektromos tér határozza
meg (a próbatöltés értékétől független (nem úgy, mint az F erő)), emiatt
az elektromos tér jellemzésére használható:
Ha a tér valamely pontjába helyezett Qp próbatöltésre az elektromos tér
F erővel hat, akkor e pontban az elektromos térerősség:
E=
F
Qp
- eszerint az elektromos térerősség vektormennyiség (iránya a pozitív
N
V
1
=
1
töltésre ható erő iránya), egysége:
C
m
7
(a fenti definíció valójában mérési utasítás; minden fizikai mennyiséget
mérési utasítás definiál!)
- az elektromos erőtér jellemzéséhez meg kell adni az E(r) vektor-vektor függvényt, azaz az elektromos térerősség vektorát a (geometriai) tér minden (az r helyzetvektorral megadott) pontjában!
A fentiekből nyilvánvaló:
Ha a térerősség az elektromos tér valamely pontjában E, akkor az oda
helyezett Q töltésre a tér F = Q · E erővel hat.
Ponttöltés (Q) elektromos tere:
F ü
E=
Q p ïï
ý
QQ p r ï
F =k 2 ï
r rþ
Qr
E=k 2
r r
Több ponttöltés tere:
az elektromos erők szuperpozíciójának már tanult elvéből következik:
E
E2
E1
+
Q1
E = Σ Ei
+
Q2
8
Elektromos erővonalak
(az elektromos tér szemléltetésére szolgálnak) (kísérlet!)
- az elektromos erővonalak olyan görbék, amelyek érintője a tér minden
P pontjában az ottani E térerősség irányába esik (így mindenütt
megadják a térerősség irányát), sűrűségük pedig arányos a E térerősség
nagyságával (így mindenütt megadják a térerősség nagyságát)
példák
(+ és – ponttöltés, síkkondenzátor, + – és + + töltéspár erővonalai):
9
Az elektromos dipólus
Az elektromos dipólus két, egymástól kis távolságban lévő, ellentétes
előjelű, de azonos abszolút értékű ponttöltésből álló töltésrendszer.
+Q
l
_
Q
A dipólust a p dipólusmomentum vektor jellemzi (irányítottságát és „nagyságát” is megadja):
p=Q·l
ahol l a negatív töltésből a pozitívba mutató helyvektor (ld. ábra)
- a dipólus fontos töltésrendszer, mert gyakran bonyolult töltésrendszerek is dipólussal helyettesíthetők (bizonyos kölcsönhatásaik szempontjából)
pl. ha egy semleges testben (pl. molekula) a pozitív és a negatív töltések
súlypontja (ld. alább!) nem esik egybe (pl. az elektromos térben fellépő
megosztás, vagy dielektromos polarizáció miatt), akkor a test elektromos dipólusnak tekinthető
Az elektromos súlypont:
Qi ponttöltések rendszere elektromos súlypontjának
helyzetvektora (a tömegközéppont analógiájára):
Dipólus elektromos tere
A pontszerű dipólus elektromos terét célszerűen először az ún. Gaussféle főhelyzetekben számítjuk ki, azután ezek alapján általánosítunk:
a) a térerősség a dipólus tengelyének
egyenesén, azaz a Gauss-féle első
főhelyzetben („A” pont, ld. ábra)!
10
- A térerősség a dipólustól távol (r >> l):
EA = E+ ─ E¯
a térerősségek egyirányúak, ezért:
E+ =
1
4p e 0
×
Q
(r - ! / 2)2
E- =
és
1
4p e 0
, ahol
×
Q
(r + ! / 2)2
(ebből közös nevező, r >> ℓ , p = ℓ · Q kihasználásával adódik:)
EA =
1
×
2p
4p e 0 r 3
b) a térerősség a dipólus felező merőleges síkjában, vagyis a Gaussféle második főhelyzetben („B” pont, ld. ábra!):
- a töltések távolsága a B ponttól azonos, így:
E+ = E- =
1
Q
× 2
4p e 0 r + (! / 2)2
- EB+ és EB- a töltéseken átmenő egyenessel
ugyanakkora (Θ) szöget zárnak be, ezért az EB nek ℓ -re merőleges komponense zérus, vagyis EB
iránya megegyezik -p irányával
- EB nagysága pedig az ábráról láthatóan:
1
2Q
!/2
EB = 2 × E + × cos Q =
× 2
×
4p e 0 r + (! / 2)2 r 2 + (! / 2)2
- ebből r >> ℓ , p = ℓ · Q kihasználásával a
keresett térerősség:
EB= -
1
×
p
4p e 0 r 3
11
c) Tetszőleges helyzetű pontban:
- általános esetben a térerősség meghatározása szellemesen
visszavezethető a két gaussi főhelyzetre (ezért volt érdemes definiálni
azokat!):
- a B pontból bocsássunk
merőlegest az AP egyenesre, és az
így kapott C metszéspontba
képzeletben helyezzünk egy +Q és
egy -Q töltést (azaz együttesen
semmit)!
- így a C -be tett +Q az A -beli -Q val olyan dipólt alkot, amelyre P az
első főhelyzetben van, a C -be tett Q a B -beli +Q -val pedig olyan dipólt, amelyhez képest P a második
főhelyzetben helyezkedik el
- az eredeti dipól p dipólmomentumából a P pont helyzete által
meghatározott CAB szög ismeretében kiszámolható a p1 és p2, így a
fenti eredmények felhasználásával a P -beli térerősség meghatározható
A dipólus által keltett elektromos tér térerősségének nagysága tehát
egyenesen arányos a dipólmomentummal, és a dipólustól való távolság
harmadik hatványa szerint csökken:
E = konst. · r -3
(vö. az elektromos ponttöltés terével (E = konst. ∙ r -2)!)
12
Dipólus homogén elektromos térben (E minden pontban azonos):
- a dipólusra ható eredő erő zérus:
F = +QE - QE = 0
+ QE
l/2 O
l/2
- a dipólusra ható forgatónyomaték:
M = Q × E × l × sinj
_ QE
ß
M = p E sinj ; M = p × E
j
(a × b itt -és a továbbiakban is!- az a és b vektorok vektori szorzatát
jelöli)
(kísérlet: dipólus rezgései síkkondenzátorban)
Dipólus inhomogén elektromos térben:
_Q
Q
F
_
- most általában:
F + ≠ - F→ elfordulva gyorsul az
elektromos térerősség
abszolút értéke leggyorsabb növekedésének irányában
a
F+
- ez a magyarázata annak
a korábban látott jelenségnek, hogy a töltött
test vonzza a semleges
testeket!
_
13
Az elektromos fluxus:
(igen felületes megfogalmazásban: egy adott felületre vonatkozó
térerőfluxus a felületen átmenő erővonalak száma)
a) Sík, a homogén (E) térerősségre merőleges
felület speciális esetében (területét jelölje f, ld.
ábra) a Y elektromos fluxus definíció szerint:
Y = E×f
Nm 2
- egysége ennek megfelelően: 1 C = 1 Vm
b) Általánosabban (ld. ábra): ha a Δf területű felületelem sík, de n
normálisának (ez a felületre merőleges egységvektor; megállapodás
szerint zárt felület esetén a felület belsejéből mindig kifelé mutat)
iránya tetszőleges a homogén (E) térerősség irányához képest (nem
egyezik vele, mint a fenti a) pontban; szögüket jelölje φ), akkor
En .
DY = En × Df
f
n j
E
Df
ahol En az E normális irányú komponense, En = E · cosj
c) Általános esetben, ha a tér inhomogén, és az f felület tetszőleges
(görbül), akkor arra a térerősség fluxusát úgy kapjuk, hogy a felületet
m darab olyan kicsi felületelemre osztjuk fel, hogy azok mindegyike
síknak, az E pedig mindegyiken állandónak legyen tekinthető. Ekkor a
fluxus definíció szerint az egyes felületelemek fluxusainak összege:
Y = En1·Δf1+En2·Δf2+ … +Enm·Δfm
14
(ezt az összeget így jelölik: ∑#
"$% 𝐸!" · 𝛥𝑓" )
Pontosabban: a fluxus ezen összeg határértéke (ez általában létezik)
akkor, ha a felület iménti felosztása minden határon túl finomodik,
amikoris a fenti közelítő összeg átmegy a térerősségnek az f felületre
vett felületi integrál -jába, amit az alábbi módon jelölünk:
Y = ò E n df
(f )
Gauss tétele (vákuumban)
Számítsuk ki egy ponttöltés terének térerősségfluxusát a ponttöltés köré
rajzolt, r sugarú gömb felületére:
(E minden konkrét r esetén állandó nagyságú, és mindenütt merőleges a gömbfelületre, így
felületi integrálja a felület és a térerősség szorzata, vagyis:)
ü
1
ï
ýY = Q
e0
Y = E × A = E × 4 r 2p ï
þ
E=
+
1
Q
4p e 0 r 2
,
azaz a fluxus független a gömb sugarától!
Kimutatható, hogy ez az összefüggés általánosan is fennáll (tetszőleges töltésrendszer elektromos terében kiválasztott tetszőleges zárt
felületre, akkor is, ha a felületen kívül is vannak töltések!):
ò En d f =
1
e0
åQ
Gauss tétele
Tetszőleges, zárt felület elektromos térerő fluxusa (vákuumban) a felületen belüli töltések algebrai összegének 1/ε0 –szorosa.
15
példák
(az ábrákon NE a kijelölt felület fluxusát jelenti):
Q1
Q1
Q1
Q2
NE = e1 Q1
NE = e1 (Q1_ Q2)
0
0
NE = 0
Q1
Q1
Q
NE = 0
- kimutatható, hogy Gauss tétele ekvivalens Coulomb törvényével!
előnyei (a Coulomb-törvényhez képest):
- jobban kifejezi az erőtérfelfogást (ezért írta fel egyenleteit Maxwell
ilyen formában!)
- a Gauss-tétel felhasználásával a térerősség igen gyakran (geometriai
szimmetriával bíró terekben, pl. töltött egyenes- ill. sík vezető tere)
egyszerűbben kiszámítható, mint Coulomb törvényéből
16
3. Az elektromos potenciál
Az elektromos tér munkája:
láttuk: az elektromos tér által
a Q ponttöltésre kifejtett erő:
F=Q·E
,
ahol E a térerősség a kérdéses
pontban
A
Ds
Q
a
F
- legyen a ∆s elemi elmozdulásvektor (ld. ábra) olyan rövid, hogy az általa definiált
egyenes szakaszon való elmozdulás közben a térerősség állandónak legyen tekinthető!
B
Ecosa = Es
E
→ így a tér ∆W munkája a ∆s elemi elmozdulás során (az elmozdulás
szorzata a ponttöltésre ható erő Fs = Q · Es elmozdulás irányú komponensével):
∆W = Q · Es ·∆s = Q · E· cos α ·∆s
(ahol E a térerősség az elmozdulás szakaszán, pl. a kezdőpontjában)
→ az a W munka, amit a tér végez, miközben a töltés az ábrán bejelölt
úton az A pontból a B pontba jut, közelíthető tehát úgy, hogy az ábrán
bejelölt AB úton felvett pontokkal felosztjuk ezt az utat kis ∆si egyenes
szakaszokra, és az ezekre a fenti módon kiszámolt elemi munkákat
összeadjuk (a Q állandó, így kiemelhető): W = 𝑄 · ∑#
"$% 𝐸&" · 𝛥𝑠"
- ha a felosztást finomítjuk (a pontok számának növelésével, úgy, hogy
a leghosszabb szakasz hossza is zérushoz tartson), akkor ez a közelítés
egyre jobbá válik, és (ha a felosztást tetszőleges módon, minden határon
túl finomítva az összeg konvergál, akkor) a keresett egzakt munkához
tart
17
- ezt a határértéket az F erő (ill. E térerősség, vagy bármi más vektortér)
vonalmenti integrál (vagy vonalintegrál) -jának nevezzük, és így
jelöljük:
B
B
A
A
W = ò Fs ds = Q × ò E s ds
ez az elektromos tér munkája az ábrán bejelölt úton az A és B pontok
között
(itt Fs ill. Es az erő- ill. térerősségvektor komponense a pillanatnyi
elmozdulás irányában, A -ból B felé haladva)
Az elektromos potenciál
Kimutatható (ld. a könyvben), hogy:
Az elektrosztatikai tér fontos tulajdonsága, hogy a tér által (egy adott
töltésen) végzett munka független az úttól, csak az A kezdő- és a B
végpont helyétől függ. Az ilyen erőtereket konzervatív térnek nevezik.
(Ilyen konzervatív erőtér a gravitációs erőtér is, ezért lehet abban (is)
potenciális energiát definiálni!)
→ ez azt jelenti, hogy tetszőleges Q töltéshez a tér minden pontjában
potenciális energia rendelhető!
A Q töltés B és A pontokhoz tartozó Epot potenciális energiáinak különbsége (definíció szerint) az a munka, amit a tér végez, miközben a
töltés a B pontból az A pontba jut:
A
E pot B - E pot A º W = Q × ò E s ds
B
(*)
→ ebből látszik, hogy a W/Q hányados csak a tértől függ, így annak
jellemzésére használható!
→ ennek megfelelően, definíció szerint:
18
Az elektromos tér B és A pontjai közötti U ≡ UB - UA potenciálkülönbség (másnéven feszültség): tetszőleges Q töltésnek a B pontból az
A pontba vitele közben a tér által végzett munka és a Q töltés hányadosa.
- a potenciál(különbség, másnéven feszültség) egysége: 1 V = 1 J/C
U º UB - U A =
Ez a definíció képlet formájában:
E pot B - E pot A
Q
Eszerint:
Egy Q töltés potenciális energiája a B pontban U·Q ≡ (UB - UA)·Q
értékkel nagyobb, mint az A pontban.
A potenciálkülönbség fenti definíciója és a fenti (*) kifejezés szerint:
A potenciálkülönbség a térerősség ismeretében kiszámítható:
A
U = ò E s ds
B
A potenciálnak eszerint mindig csak két pont közti különbségét tudjuk
megadni! → a tér pontjaihoz csak akkor tudunk egyértelmű potenciálértéket rendelni, ha a potenciál értékét a (geometriai) tér valamely
helyén (önkényesen) lerögzítjük.
→ ha tehát az A "nullpontban" (ez lehet pl. végtelen távoli pont, vagy a
földfelület) a potenciál értékét zérusnak választjuk: UA = U0 = 0, akkor
ehhez a referenciaponthoz képest tetszés szerinti B = P pontban a
potenciál:
UP =
E pot P
Q
A
P
P
A
= ò E s ds = - ò E s ds
(az utolsó egyenlőségjel jobboldalán felcseréltük az integrálás határait, ami megváltoztatja az integrál előjelét!)
19
(ezzel a választással a potenciál értékét -amelyet csak egy additív
konstans erejéig lehet meghatározni- egyértelműen megadhatjuk)
A potenciálkülönbség fenti definíciójából: Egy Q töltés Epot P potenciális energiája az UP potenciálú P pontban:
Epot P = UP·Q
Az elektrosztatikai tér örvénymentessége
Tekintsünk a térben egy tetszőleges g zárt görbét, és a rajta tetszőlegesen kijelölt A és B pontokkal osszuk fel azt
két részre (g1, g2) (ld. ábra)!
- mivel a konzervatív tér által végzett munka
bármely két pont között független az útvonaltól:
B
B
B
ò E ds = ò E ds
s
s
A
( g1 )
ò E ds - ò E ds = 0 ,
s
, így
A
( g2 )
B
A
( g1 )
s
A
( g2 )
ezért a g2 úton ellenkező (B→A) irányban haladva (így a tetszőleges
zárt görbén végighaladva megteszünk egy teljes kört):
B
A
ò E ds + ò E ds º ò E ds = 0
s
A
( g1 )
s
B
( g2 )
s
g
, vagyis
konzervatív tér vektorának bármely zárt görbe menti vonalintegrálja
zérus, ò Esds = 0. Az ilyen teret örvénymentesnek nevezzük.
Minden konzervatív tér tehát örvénymentes.
A fenti gondolatmenet „megfordításával” azt is könnyen beláthatjuk,
hogy minden örvénymentes vektortér konzervatív.
A „konzervatív” és az „örvénymentes” jelzők tehát ekvivalensek.
20
Az elektrosztatikai tér konzervatív, azaz örvénymentes vektortér.
(vagyis az elektrosztatikai térben zárt erővonalak nincsenek, az erővonalak mindig a töltésekből indulnak ki, és azokban is végződnek)
(vö.: az energiamegmaradás törvényével!)
A térerősség kiszámítása a potenciálfüggvényből
A
- a tér tetszőleges P pontjából kiindulva, a fentebb látott U B - U A = ò E s ds
B
összefüggést a szomszédos P’ pontokra alkalmazva kapjuk a P’ potenciálját (ΔU) a P potenciáljához viszonyítva:
P
P'
P'
P
ΔU º U P' - U P = ò E s ds = - ò E s ds
- ha a P -től tetszőleges, az s egységvektorral megadott irányban kicsiny, egyenes úton Δs -nyire eltávolodunk (válasszuk a Δs szakaszt
olyan rövidre, hogy a térerősségvektor annak pontjaiban azonosnak
legyen tekinthető), akkor az utolsó egyenlőség jobboldala a
–Es·Δs
szorzattal közelíthető (Es a térerősség s irányú komponense), amelyből
Es kifejezhető a potenciállal:
Es = -
DU
Ds
,
pontosabban, Δs→0 -ra:
Es = -
¶U
¶s
,
azaz a térerősség tetszőleges irányú komponense a potenciálnak a
kérdéses irány menti negatív parciális differenciálhányadosa!
(Eddig a differenciálást egyváltozós függvényekre értelmeztük. A parciális differenciálhányados (másnéven parciális derivált) többváltozós függvények (esetünkben az U(x, y, z)
függvény, amely három változótól (az adott pont koordinátáitól) függ) bármely változója
szerint képezhető, úgy, hogy a függvény többi változóit állandó értéken tartjuk, és az így már
csak egy változótól függő függvényt változója szerint a közönséges módon differenciáljuk.
21
Szimbóluma: pl.
!"($,&,')
az U(x, y, z) függvény y változója szerinti parciális deriváltját
!&
jelenti.)
- ez derékszögű koordinátarendszerben megadja a térerősség komponenseit:
Ex = -
¶U
¶U
¶U
, Ey = , Ez = ,
¶y
¶z
¶x
vagy vektoriálisan kifejezve:
E = -grad U
szavakban: A térerősség az elektromos potenciál negatív gradiense.
(az U skalár függvény gradiense (grad U) a tér minden pontjában az a
¶U ¶U ¶U
vektor, amelynek derékszögű komponensei rendre: , ¶y , ; a gradiens
¶x
¶z
vektor mindig az U leggyorsabb növekedése irányába mutat)
Ez azt jelenti, hogy:
Elektrosztatikus térben a térerősség (amely a (geometriai) tér minden
pontjában egy-egy vektor!) és a potenciál (amely a tér minden pontjában egy-egy skalár!) között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van
(ha lerögzítjük a potenciál nullapontját), vagyis az elektromos tér
jellemzésére egyaránt használhatók!
____________________________
Homogén elektromos térben (ez olyan tér, amelynek minden pontjában
ugyanaz az E térerősségvektor) a térerősség irányában egymástól l
távolságnyira lévő pontok (A és B) potenciáljainak UA - UB különbségét
(azaz a pontok közti feszültséget) könnyen kiszámíthatjuk:
B
- az ezt megadó U A - U B = ò E s ds vonalintegrál értéke (minthogy eseA
22
tünkben minden elemi Δs elmozdulás az állandó térerősség irányába
történik) most egyszerűen E·l , ezért:
UA - UB = E·l
- homogén az elektromos tér pl. az ábrán látható síkkondenzátor (bővebben ld. alább!) lemezei között (A ill. B a
+
kondenzátor egyes fegyverzeteinek akármelyik pontja
lehet)
- ha tehát az l lemeztávolságú síkkondenzátor lemezei közti
feszültség U ≡ UA - UB, akkor
A
B
_
l
a kondenzátor lemezei között a térerősség: E = U A - U B
l
Ponttöltés potenciálja:
Q +
O
r0
x
P
+
Q
ekvipotenciális
felület
r
- célszerűen a ponttöltésből kiinduló egyenes mentén haladunk, mert
így az elemi elmozdulások iránya mindig azonos a térerősségével, ezért
Es megegyezik a térerősség E abszolút értékével:
r
r
1 0 Q
Q é 1ù 0
Q æ 1 1ö
ç- + ÷
U P - UO =
d
x
=
=
4p e 0 òr x 2
4p e 0 êë x úû r 4p e 0 çè r0 r ÷ø ;
- ha a referenciahely a végtelen távoli pont (r0 = ¥), és a végtelenben a
potenciált 0 -nak választjuk (U0 = 0), akkor kapjuk a ponttöltés potenciálját:
23
UP =
1 Q
4pe 0 r
(ebből a szuperpozíció elvének alkalmazásával:)
Több ponttöltésből álló rendszer potenciálja:
𝑈' =
1
𝑄"
∙/
4𝜋𝜀(
𝑟"
"
ahol ri a P pont és az i-edik ponttöltés közti távolság
A tér struktúrájának láthatóvá tételében (a tér erővonalképének alternatívájaként) segítenek az
Ekvipotenciális felületek: olyan felületek, amelyeknek minden pontjában ugyanakkora a potenciál értéke
U(x,y,z) = konstans
(ld. a gömbalakú (amelynek metszete az ábra síkjával az ábrázolt kör)
ekvipotenciális felületet az előző ábra jobboldalán!)
- az ekvipotenciális felületek mindenütt merőlegesek a térerősség irányára
(ha ui. a térerősségnek ekvipotenciális felületre való vetülete valahol mégsem lenne zérus,
akkor ott találhatnánk olyan görbét az ekvipotenciális felületen, amelyre a térerősség vonalintegrálja nem tűnne el, azaz a görbe végpontjai között feszültség lenne, ami ellentmond az
ekvipotenciális felület definíciójának)
24
B. ELEKTROSZTATIKAI TÉR ANYAG JELENLÉTÉBEN
4. Elektrosztatikai tér vezető jelenlétében
A vezetőben lévő szabad töltéshordozók külső Ek elektromos erőtér
hatására elmozdulnak mindaddig, amíg Eb belső elektromos terük az Ek
–t nem kompenzálja a vezető teljes térfogatában → egyensúly!
1. Elektrosztatikus egyensúly esetén az E elektromos térerősség a
vezető belsejében mindenütt zérus, a vezető külső felületén pedig a
felületre merőleges.
(különben a szabad töltéshordozók mozognának, így nem lehetne
egyensúly!)
2. Elektrosztatikus egyensúlyban az elektromos (többlet)töltés a vezető
külső felületén helyezkedik el.
(A vezetőn belül bárhol kijelölt (összefüggő) térfogatot körülvevő
zárt felületen ugyanis az elektromos fluxus zérus (hiszen e felület
minden pontjában E=0), így Gauss tétele miatt a térfogatban nem
lehet többlettöltés! E zárt felület pedig belülről tetszőlegesen megközelítheti a vezető felületét!) (kísérlet!)
3. Elektrosztatikus egyensúly esetén a potenciál a vezető minden
pontjában ugyanakkora: a vezető teljes térfogata (felülete is!) ekvipotenciális térrész.
(Minthogy E a vezető belsejében zérus, a felületén pedig a felületre
merőleges, a vezető bármely két (A, B) pontja közti, a vezetőből ki
A
nem lépő, tetszőleges útvonalon az U B - U A = ò E s ds vonalintegrál
B
értéke (azaz a potenciálkülönbség) zérus!)
25
4. A vezetőben lévő üregben a térerősség zérus, feltéve, hogy az üregben nincsenek (izolált) elektromos töltések.
→ elektrosztatikus árnyékolás (Faraday-kalitka) (kísérlet!)
A többlettöltés eloszlása a vezető felületén:
Felületi töltéssűrűség (def.):
sº
dQ
df
(Δf felületen ΔQ töltés van; hányadosuk határértéke az adott pontban)
B
A
C
tapasztalat: egységnyi (kis) felületre
D
QA < QB < QC < QD , vagyis:
Elektrosztatikus egyensúlyban lévő vezető felületén a felületi töltéssűrűség a
felület lokális görbületével (azaz a
görbületi sugár reciprokával) arányos.
(tehát viszonylag legnagyobb a csúcsoknál és éleknél; ezeken a helyeken az E térerősség is a legnagyobb (ld. alább!)) (kísérlet!)
26
A felületi töltéssűrűség és a térerősség (σ és E) közötti kapcsolat:
a felületre merőleges tengelyű henger
felületére Gauss tételéből:
E n df = Edf =
Df
a b
1
dQ
e0
ebből dQ = s × df felhasználásával kapjuk, hogy vákuumban:
E=
s
e0
a térerősség tehát egyenesen arányos a felületi töltéssűrűséggel!
→ Csúcshatás: a felületi töltéssűrűség és így E a csúcsoknál olyan nagy
lehet, hogy a tér a környező molekulákat polarizálja, magához vonzza,
majd feltöltve eltaszítja (→ „elektromos szél”) (kísérletek!)
27
Kapacitás; kondenzátorok
A szuperpozíció elve alapján
könnyen belátható (ld. ábra):
U µ Q
_Q
+Q
A
→ hányadosuk tehát állandó,
csak a rendszer geometriájától
(és a teret kitöltő szigetelő
dielektromos állandójától, ld.
alább) függ:
B
U
C=
+ 2Q
_
A
2Q
Q
U
Az A és B vezetőkből álló rendszer töltésének és feszültségének hányadosa a rendszer C kapacitása.
B
egysége:
C
1 = 1 farad ( F )
V
2U
1 F = 106 µF = 109 nF = 1012 pF
- a gyakorlatban sokszor nagy kapacitás szükséges → kondenzátorok
28
Síkkondenzátor
A
B
_Q
+Q
f
f
_Q
+Q
d
d
láttuk:
E=
s
Q
=
e0 e0f
Q
figyelembe vételével adódik a vákuummal
U
kitöltött síkkondenzátor kapacitása:
ebből U = Ed és C =
C = e0
f
d
- a kapacitás függése a rendszer geometriájától (kísérletek!)
- kondenzátorok a gyakorlatban; kondenzátortípusok
29
Kondenzátorok kapcsolása
Párhuzamos kapcsolás:
_Q
+ Q1
1
- feszültségük megegyezik:
C1
_Q
+ Q2
Q1 = C1·U , Q2 = C2·U
2
- töltéseik összegződnek:
C2
Q = Q1 + Q 2 = (C1 + C 2 ) × U ü
ý
Q = C× U
þ
C = C1 + C2
U
(akárhány kondenzátorra általánosítható!)
Soros kapcsolás:
_Q
+Q
_Q
+Q
C2
C1
U1
U2
U
- töltéseik megegyeznek
- a rendszer feszültsége a kondenzátorok feszültségeinek összege
U = U1 + U 2 =
U=
Q
C
Q
Q ü
+
C1 C 2 ï
ï
ý
ï
ï
þ
(akárhány kondenzátorra általánosítható!)
30
1 1
1
= +
C C1 C 2
Feltöltött kondenzátor energiája
U'
U' =
_ Q'
+ Q'
A
Q'
C
ha +dQ' töltést átviszünk B -ről A -ra, akkor
eközben
B
dW = U' dQ' =
+ d Q'
Q'
dQ'
C
munkát kell végeznünk, vagyis a teljes feltöltéshez szükséges munka:
Q
Q'
1 Q2
W =ò
dQ ' = ×
C
2 C
0
a kondenzátor energiája:
, tehát
1 Q2 1
1
W=
= QU = CU 2
2 C 2
2
(kísérlet!)
Az elektrosztatikai tér energiája
(fejezzük ki a síkkondenzátor energiáját a tér jellemzőjével (E -vel)!)
1
2
1
1
f
1
W
=
e
E
V
2
2
2
0
W = CU = × e 0 × ( Ed ) = e 0 E V , vagyis:
2
2
2
d
2
ahol V = f · d az a térfogat, amelyet a (homogén!) mező kitölt (a
fegyverzeteken kívül a térerősség elhanyagolható!).
31
→ A feltöltött kondenzátor W energiája nem a kondenzátor fegyverzeteiben, hanem a köztük lévő elektromos térben halmozódik fel!
Az elektrosztatikai tér energiasűrűsége:
W
definíció: w º V a tér energiasűrűsége;
1
w = e0 E 2
2
ez a fenti eredményünkből:
Ez az összefüggés (bár a síkkondenzátor speciális esetére kaptuk)
általánosan is érvényes!
Síkkondenzátor lemezei közt ható vonzóerő:
(a Coulomb-törvény „közvetlen” alkalmazása HIBA!)
_Q
_
f _
_
_
_
+Q
+
+ F
+
+
+
s
tehát:
+
+
+
+
+
Ds
! $"
𝐹=
"#! %
- kis ds -nyivel megváltoztatjuk a lemezek
távolságát
energiamegmaradás: 𝑑𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 , ebből:
𝑑𝑊
𝑑 1 𝑄)
𝑑 1 )
𝑠
𝐹=
=
4
7=
8 𝑄 ∙
9
𝑑𝑠
𝑑𝑠 2 𝐶
𝑑𝑠 2
𝜀( ∙ 𝑓
ill. az U -val kifejezve:
→ ez erő mérésével abszolút feszültségmérést tesz lehetővé:
Thomson-féle feszültségmérleg
32
# ∙%
"∙'
𝐹 = ! " 𝑈"
5. Az elektrosztatikai tér szigetelő jelenlétében
A dielektromos állandó
(kísérlet!)
_Q
+Q
→
egy
_Q
+Q
U0
ha
U
síkkondenzátor lemezei között a vákuumot dielektrikumra cseréljük,
akkor a kondenzátor feszültsége lecsökken (U0 -ról U -ra)!
- a kondenzátor töltése nem változott, így: Q = C0 U0 és Q = C U ,
ezekből: C = C0 ×
U0
U
, azaz
U < U0
miatt:
C > C0
Ha tehát egy síkkondenzátort vákuum helyett dielektrikummal töltünk
ki, akkor kapacitása ε -szorosára növekszik:
e=
C
C0
æ U0 ö
ç=
÷ >1 ;
è U ø
itt ε a szigetelő relatív dielektromos állandója (más néven: permittivitása) (ε puszta szám!)
Ez az összefüggésünk csak a síkkondenzátor speciális esetére vonatkozik, ezért ε definiálására nem szerencsés! Azonban:
- láttuk, hogy a térerősség:
E=
E0
e
,
E0 =
U0
d
ill.
E=
U
d
,
emiatt:
tehát dielektrikumban a térerősség ε -od
részére lecsökkent!
33
→ ezzel a relatív dielektromos állandó definíciója:
Ha valamely töltésrendszer vákuumban E0 , egy adott
homogén, izotrop szigetelőben pedig E térerősségű
elektrosztatikai teret hoz létre, akkor a szigetelő relatív
e=
dielektromos állandója definíció szerint:
_
+
E0
E
E
e
- a fenti gondolatmenetből az is kiderült, hogy:
f felületű, d vastagságú, ε relatív dielektromos állan-
f
C = e e0
d
dójú szigetelővel kitöltött síkkondenzátor kapacitása:
De miért módosítják a szigetelők az elektromos teret? Molekuláris
magyarázat:
A szigetelők polározódása (dielektromos polarizáció)
_
+
E=0
_
+
E>0
E=0
E=0 esetén nempoláros molekulák
E>0
E=0 esetén is poláros molekulák
a) nempoláros molekulák: az elektromos tér a molekulákon belül
eltolja a pozitív és a negatív töltések súlypontját, ezzel az E irányába
mutató indukált dipólmomentumot hoz létre a szigetelő molekuláiban
34
b) poláros molekulák: az elektromos tér az E irányába rendezi az eleve
polarizált (dipólus) molekulák permanens dipólmomentumait
_Q
Emiatt az elektromos térbe tett szigetelő
belsejében a pozitív és a negatív töltések
_
+
eltolódnak egymáshoz képest. Ez a
_
+
(homogén) szigetelő térfogati semle_
gességét nem változtatja meg, mivel a
+
_
térfogatban a pozitív és a negatív
+
_ f
f
töltések közel folytonosan oszlanak el,
+
így eltolódásuk után is semlegesítik egy_
+
mást. A szigetelő határán kifelé elmoz_
+
duló töltések semlegesítésére viszont
_
+
nem áll rendelkezésre ellentétes
a
b
polaritású töltés, ezért polarizáció hatására a dielektrikum (E -re merőleges)
l
határfelületein felületi elektromos töltések (ún. polarizációs töltések, QP) jelennek meg (ld. az alábbi ábrán!)!
A polarizációs felületi töltések tere (ld. az ábrán) mindig ellentétes a
polarizációt létrehozó külső térrel, ezért csökken a térerősség
szigetelőkben (vákuumhoz képest)!
+Q
_Q
+Q
_Q
p
_
_
_
_
_ f
_
_
_
+
+
+
+
f
+
+
+
+
a
+ Qp
b
l
A QP polarizációs töltések ún. kötött töltések, mert nem hagyhatják el a
molekula határait, így csak korlátozott mértékben mozdulhatnak el,
35
"