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Effettua una revisione dei miei appunti di algebra lineare sui sistemi lineari scritti in latex.Devi correggere gli errori teorici e concettuali presenti all'interno degli appunti,inoltre devi anche riscriverli in modo strutturato, ordinato e con una formattazione scientifica attinente alla disciplina algebra lineare. Questi sono gli appunti: \documentclass[12pt, a4paper]{article}
% Pacchetti essenziali
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\geometry{margin=2.5cm}
\newtheorem*{theorem}{Teorema di Rouché-Capelli}
\newtheorem*{regola}{Regola di Cramer}
\title{Sistemi Lineari\\Appunti di Algebra Lineare}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\section{Introduzione ai sistemi lineari}
Un sistema lineare è un insieme di equazioni lineari, cioè equazioni in cui le incognite compaiono solo al primo grado e non vi sono prodotti tra esse,che devono essere tutte risolte contemporaneamente.
Un generico sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite viene rappresentato come segue:
\begin{equation*}
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
\end{equation*}
Dove $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{mn}$ rappresentano i \textbf{coefficienti} delle incognite, $(b_1, b_2, \dots, b_m)$ rappresenta la \textbf{colonna dei termini noti} e $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ rappresenta la $n$-upla delle incognite di cui vogliamo ricavare le soluzioni.\\
In base alla possibilità che un sistema ammetta o meno soluzione, distinguiamo i sistemi:
\begin{itemize}
\item \textbf{Compatibili}: Ammettono almeno una soluzione
\begin{itemize}
\item \textbf{Determinati}: Ammettono una sola soluzione
\item \textbf{Indeterminati}: Ammettono infinite soluzioni
\end{itemize}
\item \textbf{Incompatibili}: Non ammettono alcuna soluzione
\end{itemize}
\section{Studio della compatibilità di un sistema lineare}
Per studiare la compatibilità di un sistema lineare facciamo riferimento a due matrici tratte dal sistema lineare stesso.
\begin{itemize}
\item Matrice dei coefficienti
\item Matrice Completa
\end{itemize}
\subsection{Matrice dei coefficienti}
La matrice dei coefficienti è una matrice composta dai soli coefficienti $a_{11},a_{12}\dots$ delle incognite del sistema lineare.
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\subsection{Matrice Completa}
La matrice completa è una matrice composta dalla matrice dei coefficienti e dalla colonna dei termini noti $b_1,b_2\dots b_m$
\begin{equation*}
(A|b)= \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & | & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & | & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & | & b_i \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\subsection{Teorema di rouchè capelli}
\begin{theorem}
Il \textbf{Teorema di Rouché-Capelli} è fondamentale nello studio della compatibilità di un sistema lineare. Esso stabilisce che:
Un sistema lineare \( Ax = b \) è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti \( A \) è uguale al rango della matrice completa \( (A|b) \), cioè:
\[
\operatorname{rk}(A|b) = \operatorname{rk}(A)
\]
In base a questo, possiamo dedurre che:
\begin{itemize}
\item Se \( \operatorname{rk}(A|b) = \operatorname{rk}(A) = n \), allora il sistema ammette un'unica soluzione.
\item Se \( \operatorname{rk}(A|b) = \operatorname{rk}(A) < n \), allora il sistema ammette un numero infinito di soluzioni, in particolare con \( n - \operatorname{rk}(A) \) variabili libere.
\item Se \( \operatorname{rk}(A|b) \neq \operatorname{rk}(A) \), allora il sistema non ammette soluzioni.
\end{itemize}
\end{theorem}
\subsection{Regola di Cramer per i sistemi lineari}
\begin{regola}
La regola di Cramer è un metodo utilizzato per trovare le soluzioni di un sistema lineare quadrato, cioè un sistema lineare che ha lo stesso numero di equazioni e di incognite. Tuttavia, affinché la regola di Cramer sia applicabile, sono necessarie alcune condizioni.
\subsection*{Condizioni di applicabilità}
Affinché la regola di Cramer possa essere utilizzata, è fondamentale che la matrice dei coefficienti del sistema sia quadrata e invertibile. In altre parole, il determinante della matrice dei coefficienti deve essere diverso da zero ($\det(A) \neq 0$).
\subsection*{Enunciato della regola di Cramer}
La regola di Cramer afferma che se la matrice dei coefficienti $A$ è invertibile, allora il sistema lineare ammette un'unica soluzione. Questa soluzione è data da:
\begin{equation*}
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
\end{equation*}
dove $x_i$ è l'$i$-esima incognita, $\det(A)$ è il determinante della matrice dei coefficienti e $\det(A_i)$ è il determinante della matrice ottenuta sostituendo la $i$-esima colonna dei coefficienti con la colonna dei
termini noti del sistema.
\paragraph*{Dimostrazione\\}
La dimostrazione della regola di Cramer si basa su due proprietà dei determinanti:
\begin{enumerate}
\item Moltiplicando una riga (o colonna) per un fattore $k \neq 0$, il determinante della matrice viene moltiplicato per lo stesso fattore.
\item Sommando ad una riga (o colonna) un multiplo di un'altra riga (o colonna), il determinante della matrice non cambia.
\end{enumerate}
Consideriamo un sistema lineare quadrato:
\begin{equation*}
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \\
\end{cases}
\end{equation*}
Applichiamo la regola di Cramer alla prima incognita $x_1$. La matrice $A_1$ è ottenuta sostituendo la prima colonna di $A$ con il vettore dei termini noti $\mathbf{b}$:
\[
A_1 = \begin{pmatrix}
b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\]
La soluzione $x_1$ è data da:
\[
x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)}
\]
Consideriamo ora il calcolo del determinante $\det(A_1)$:
\[
\det(A_1) = \begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
Poiché $b_i = a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n$ per ogni $i$, possiamo sostituire $b_i$ nelle espressioni dei determinanti:
\[
\det(A_1) = \begin{vmatrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
Moltiplichiamo ciascuna colonna per la rispettiva incognita, ad esempio la seconda colonna per $x_2$,la terza colonna per $x_3$ e poi sottraiamo ogni colonna alla prima ottenendo:
\[
\det(A_1) =\begin{vmatrix}
a_{11}x_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21}x_1 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}x_1 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} = x_1 \det(A)
\]
la prima colonna è moltiplicata per un fattore $x_1$ che quindi possiamo portare fuori ottenendo
\[
\det(A_1) = x_1 \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} = x_1 \det(A)
\]
Quindi:
\[
x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{x_1 \det(A)}{\det(A)} = x_1
\]
Lo stesso procedimento può essere applicato per tutte le altre incognite $x_i$, confermando la validità della regola di Cramer.
\end{regola}
\section{Sistema Omogeneo}
Un sistema lineare \textbf{omogeneo} è un sistema in cui la colonna dei termini noti è il vettore nullo. Un sistema lineare omogeno si presenta cioè così:
\begin{equation*}
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n =0\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n =0 \\
\cdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n =0 \\
\end{cases}
\end{equation*}
Un sistema lineare omogeno è sempre compatibile e ammette sempre la \textbf{soluzione banale}, quella cioè in cui tutte le incognite sono pari a 0 in quanto si ottiene un'identità 0=0. Inoltre, un sistema lineare omogeneo:
\begin{itemize}
\item Se ha rango rk(A)<n,ammette infinite soluzioni, in particolare $\infty^{n-rk(A)}$ soluzioni
\item Se ha rango rk(A)=n,ammette un'unica soluzione
\end{itemize}
\section{Ricavare le soluzioni di un sistema lineare}
Per ricavare le soluzioni di un sistema lineare si sfruttano due principali metodi:
\begin{itemize}
\item Regola di Cramer
\item Metodo di eliminazione di Gauss
\end{itemize}
\subsection{Esempio di calcolo delle soluzioni di un sistema lineare con la Regola di Cramer}
Vediamo come risolvere un sistema lineare non omogeneo utilizzando la regola di Cramer. Consideriamo il seguente sistema di equazioni:
\begin{align*}
2x + 3y &= 7 \\
4x + y &= 3
\end{align*}
Per prima cosa, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:
\begin{align*}
det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2*1 - 3*4 = -10
\end{align*}
Poi, calcoliamo i determinanti ottenuti sostituendo le colonne della matrice dei coefficienti con i termini noti:
\begin{align*}
det(A)_x = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 7*1 - 3*3 = -2 \\
det(A)_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 2*3 - 7*4 = -20
\end{align*}
Infine, calcoliamo le soluzioni del sistema dividendo i determinanti ottenuti per il determinante della matrice dei coefficienti:
\begin{align*}
x = \frac{det(A)_x}{det(A)} = \frac{-2}{-10} = 0.2 \\
y = \frac{det(A)_y}{det(A)} = \frac{-20}{-10} = 2
\end{align*}
\subsection{Esempio di calcolo delle soluzioni di un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss}
Vediamo ora invece come ricavare le soluzioni di un sistema lineare applicando il metodo di eliminazione di Gauss.Consideriamo il seguente sistema lineare:
\[
\begin{cases}
2x + 3y - z = 1 \\
4x + 4y - 3z = 3 \\
2x + 3y - 3z = -1
\end{cases}
\]
\paragraph*{Passo 1: Rappresentare il sistema nella forma di matrice aumentata\\}
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
4 & 4 & -3 & 3 \\
2 & 3 & -3 & -1
\end{array}\right]
\]
\paragraph*{Passo 2: Usare la prima riga per eliminare le \( x \) nelle righe successive\\}
Per fare questo, possiamo sostituire la seconda e la terza riga in modo che i coefficienti di \( x \) diventino 0.
\begin{itemize}
\item Moltiplichiamo la prima riga per \( 2 \) e sottraiamo dalla seconda riga:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & -2 & -1 & 1 \\
2 & 3 & -3 & -1
\end{array}\right]
\]
\item Sottraiamo la prima riga dalla terza riga:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & -2 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & -2
\end{array}\right]
\]
\end{itemize}
\paragraph*{Passo 3: Usare la seconda riga per eliminare \( y \) nella terza riga\\}
Per fare questo, possiamo moltiplicare la seconda riga per un opportuno valore e sottrarre dalla terza riga per eliminare \( y \).
\begin{itemize}
\item Moltiplichiamo la seconda riga per \( -1 \) per rendere più facile il calcolo:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -2 & -2
\end{array}\right]
\]
\item Dividiamo la terza riga per \( -2 \) per semplificarla:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]
\]
\item Usiamo la seconda riga per eliminare il termine in \( z \) della terza riga:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]
\]
\end{itemize}
\paragraph*{Passo 4: Sostituzione all'indietro per risolvere le incognite}
\begin{itemize}
\item Dalla terza riga, abbiamo \( z = 1 \).
\item Sostituendo \( z = 1 \) nella seconda riga, otteniamo:
\[
0 \cdot y + 2y + 1 \cdot 1 = -1 \implies 2y + 1 = -1 \implies 2y = -2 \implies y = -1
\]
\item Sostituendo \( y = -1 \) e \( z = 1 \) nella prima riga, otteniamo:
\[
2x + 3(-1) - 1 = 1 \implies 2x - 3 - 1 = 1 \implies 2x - 4 = 1 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}
\]
\end{itemize}
\paragraph*{Soluzione del sistema}
\[
\begin{cases}
x = \frac{5}{2} \\
y = -1 \\
z = 1
\end{cases}
\]
Quindi, le soluzioni del sistema sono \( x = \frac{5}{2} \), \( y = -1 \), e \( z = 1 \).
\end{document}ASSISTANT
Ecco la revisione dei tuoi appunti di algebra lineare sui sistemi lineari, corretti per eventuali errori teorici e concettuali e riorganizzati per chiarezza e struttura.
```latex
\documentclass[12pt, a4paper]{article}
% Pacchetti essenziali
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\geometry{margin=2.5cm}
\newtheorem{theorem}{Teorema}
\newtheorem{regola}{Regola}
\title{Sistemi Lineari\\Appunti di Algebra Lineare}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\section{Introduzione ai sistemi lineari}
Un sistema lineare è un insieme di equazioni lineari, cioè equazioni in cui le incognite compaiono solo al primo grado e non vi sono prodotti tra esse, che devono essere tutte risolte contemporaneamente. Un generico sistema lineare di \(m\) equazioni in \(n\) incognite viene rappresentato come segue:
\begin{equation*}
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
\end{equation*}
Dove \(a_{11}, a_{12}, \dots, a_{mn}\) rappresentano i \textbf{coefficienti} delle incognite, \(b_1, b_2, \dots, b_m\) rappresenta la \textbf{colonna dei termini noti} e \(x_1, x_2, \dots, x_n\) rappresenta la \(n\)-upla delle incognite di cui vogliamo ricavare le soluzioni.
In base alla possibilità che un sistema ammetta o meno soluzioni, distinguiamo i sistemi:
\begin{itemize}
\item \textbf{Compatibili}: Ammettono almeno una soluzione
\begin{itemize}
\item \textbf{Determinati}: Ammettono una sola soluzione
\item \textbf{Indeterminati}: Ammettono infinite soluzioni
\end{itemize}
\item \textbf{Incompatibili}: Non ammettono alcuna soluzione
\end{itemize}
\section{Studio della compatibilità di un sistema lineare}
Per studiare la compatibilità di un sistema lineare facciamo riferimento a due matrici tratte dal sistema lineare stesso:
\begin{itemize}
\item Matrice dei coefficienti
\item Matrice completa
\end{itemize}
\subsection{Matrice dei coefficienti}
La matrice dei coefficienti è una matrice composta dai soli coefficienti \(a_{11}, a_{12}, \dots, a_{mn}\) delle incognite del sistema lineare.
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\subsection{Matrice Completa}
La matrice completa è una matrice composta dalla matrice dei coefficienti e dalla colonna dei termini noti \(b_1, b_2, \dots, b_m\).
\begin{equation*}
(A|b)= \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & | & b_m \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\subsection{Teorema di Rouché-Capelli}
\begin{theorem}[Teorema di Rouché-Capelli]
Il \textbf{Teorema di Rouché-Capelli} è fondamentale nello studio della compatibilità di un sistema lineare. Esso stabilisce che:
Un sistema lineare \( Ax = b \) è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti \( A \) è uguale al rango della matrice completa \( (A|b) \), cioè:
\[
\operatorname{rk}(A|b) = \operatorname{rk}(A)
\]
In base a questo, possiamo dedurre che:
\begin{itemize}
\item Se \( \operatorname{rk}(A|b) = \operatorname{rk}(A) = n \), allora il sistema ammette un'unica soluzione.
\item Se \( \operatorname{rk}(A|b) = \operatorname{rk}(A) < n \), allora il sistema ammette infinite soluzioni, in particolare con \( n - \operatorname{rk}(A) \) variabili libere.
\item Se \( \operatorname{rk}(A|b) \neq \operatorname{rk}(A) \), allora il sistema non ammette soluzioni.
\end{itemize}
\end{theorem}
\section{Ricavare le soluzioni di un sistema lineare}
Per ricavare le soluzioni di un sistema lineare si sfruttano due principali metodi:
\begin{itemize}
\item \textbf{Regola di Cramer}
\item \textbf{Metodo di eliminazione di Gauss}
\end{itemize}
\subsection{Regola di Cramer per i sistemi lineari}
\begin{regola}[Regola di Cramer]
La regola di Cramer è un metodo utilizzato per trovare le soluzioni di un sistema lineare quadrato, cioè un sistema lineare che ha lo stesso numero di equazioni e di incognite. Tuttavia, affinché la regola di Cramer sia applicabile, sono necessarie alcune condizioni.
\subsection*{Condizioni di applicabilità}
Affinché la regola di Cramer possa essere utilizzata, è fondamentale che la matrice dei coefficienti del sistema sia quadrata e invertibile. In altre parole, il determinante della matrice dei coefficienti deve essere diverso da zero (\(\det(A) \neq 0\)).
\subsection*{Enunciato della regola di Cramer}
La regola di Cramer afferma che se la matrice dei coefficienti \(A\) è invertibile, allora il sistema lineare ammette un'unica soluzione. Questa soluzione è data da:
\begin{equation*}
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
\end{equation*}
dove \(x_i\) è l'\(i\)-esima incognita, \(\det(A)\) è il determinante della matrice dei coefficienti e \(\det(A_i)\) è il determinante della matrice ottenuta sostituendo la \(i\)-esima colonna dei coefficienti con la colonna dei termini noti del sistema.
\paragraph*{Esempio di calcolo delle soluzioni con la Regola di Cramer}
Consideriamo il seguente sistema di equazioni:
\begin{align*}
2x + 3y &= 7 \\
4x + y &= 3
\end{align*}
Per prima cosa, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:
\[
\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 4 = -10
\]
Poi, calcoliamo i determinanti ottenuti sostituendo le colonne della matrice dei coefficienti con i termini noti:
\[
\det(A)_x = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 7 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = -2
\]
\[
\det(A)_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 7 \cdot 4 = -22
\]
Infine, calcoliamo le soluzioni del sistema dividendo i determinanti ottenuti per il determinante della matrice dei coefficienti:
\[
x = \frac{\det(A)_x}{\det(A)} = \frac{-2}{-10} = 0.2
\]
\[
y = \frac{\det(A)_y}{\det(A)} = \frac{-22}{-10} = 2.2
\]
\end{regola}
\subsection{Metodo di eliminazione di Gauss}
Il metodo di eliminazione di Gauss consiste nel trasformare la matrice del sistema lineare in una matrice triangolare superiore, facilitando così la risoluzione del sistema.
\paragraph*{Esempio di calcolo delle soluzioni con il metodo di eliminazione di Gauss}
Consideriamo il seguente sistema lineare:
\[
\begin{cases}
2x + 3y - z = 1 \\
4x + 4y - 3z = 3 \\
2x + 3y - 3z = -1
\end{cases}
\]
\paragraph*{Passo 1: Rappresentare il sistema nella forma di matrice aumentata}
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
4 & 4 & -3 & 3 \\
2 & 3 & -3 & -1
\end{array}\right]
\]
\paragraph*{Passo 2: Usare la prima riga per eliminare le \(x\) nelle righe successive}
\begin{itemize}
\item Moltiplichiamo la prima riga per 2 e sottraiamo dalla seconda riga:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & -2 & -1 & 1 \\
2 & 3 & -3 & -1
\end{array}\right]
\]
\item Sottraiamo la prima riga dalla terza riga:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & -2 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & -2
\end{array}\right]
\]
\end{itemize}
\paragraph*{Passo 3: Ridurre ulteriormente la matrice}
\begin{itemize}
\item Dividiamo la terza riga per \(-2\):
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & -2 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]
\]
\item Usiamo la terza riga per eliminare il termine in \(z\) dalla seconda riga:
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]
\]
\item Dividiamo la seconda riga per \(-2\):
\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]
\]
\end{itemize}
\paragraph*{Passo 4: Sostituzione all'indietro per risolvere le incognite}
\begin{itemize}
\item Dalla terza riga, abbiamo \(z = 1\).
\item Sostituendo \(z = 1\) nella seconda riga, otteniamo \(y = 0\).
\item Sostituendo \(z = 1\) e \(y = 0\) nella prima riga, otteniamo:
\[
2x + 3(0) - 1(1) = 1 \implies 2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1
\]
\end{itemize}
\paragraph*{Soluzione del sistema}
\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = 0 \\
z = 1
\end{cases}
\]
\section{Sistemi Lineari Omogenei}
Un sistema lineare è \textbf{omogeneo} se la colonna dei termini noti è il vettore nullo. Un sistema lineare omogeneo si presenta così:
\begin{equation*}
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \\
\end{cases}
\end{equation*}
Un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile e ammette sempre la \textbf{soluzione banale}, quella in cui tutte le incognite sono pari a 0. Inoltre, per un sistema lineare omogeneo:
\begin{itemize}
\item Se \(\operatorname{rk}(A) < n\), ammette infinite soluzioni, in particolare \(\infty^{n-\operatorname{rk}(A)}\) soluzioni.
\item Se \(\operatorname{rk}(A) = n\), ammette un'unica soluzione.
\end{itemize}
\end{document}
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Spero che questi appunti soddisfino le tue esigenze! Se ci fossero ulteriori correzioni o aggiunte che desideri, non esitare a farmelo sapere.